Vektorraum

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TeenTitans Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Meine Frage:
Man beweise: Der Vektorraum hat für jeden Körper K mit p Elementen (p ist Primzahl) genauso viele ein- wie vierdimensonale Teilräume.

Meine Ideen:
Ich weiß leider überhaupt nicht, wie man an solche Beweise herangeht. Wie fängt man an? Könnt ihr mir bitte helfen? Danke im Voraus!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man fragt sich natürlich, welche n-dimensionalen UVRe der für n von 1 bis 5 hat. Die Antwort beinhaltet insbeondere die Anzahl der 1-dimensionalen und 4-dimensionalen UVRe. Wenn das zu abstrakt ist, dann stellt man die Frage zunächst für .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch an Quotientenraeume denken, vielleicht hilft es. Gibt es ein Skalarprodukt auf einem beliebigen Vektorraum? Bilinearform? Orthogonales Komplement? (Ich bin erkennbar verunsichert.)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist das auch nur ein Kombinationsspiel ? Für ist eine Basis eines eindimensionalen UVR von , und davon gibt es verschiedene. "Leider" sind die Vektoren nicht linear unabhängig, also gibt es für weniger als eindimensionale UVRe. Wieviele sind es, und wiewiele 4-dimensionale UVRe gibt es ? Fragen über Fragen, es ist zum Verzweifeln ... verwirrt
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Eindimensionale gibt es , weil zwei von Null verschiedene Vektoren genau dann l.a. sind, wenn der eine skalares Vielfaches vom anderen ist. Von Null verschiedene Skalare gibt es p-1.

Allerdings finde ich den Ansatz, die Zahl der Unterräume auszurechnen, nicht sehr elegant. Bisher ist mir aber auch nichts besseres eingefallen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Skalarprodukten kommt man zwangsläufig auf reelle oder komplexe Vektorräume, und mit Bilinearformen kenne ich mich nicht gut genug aus, um damit bessere Ideen zu generieren. Irgend eine elegante Lösung muss es doch geben, es gibt immer eine, man kann nur nicht vorhersagen, ob und wann eine gefunden wird. Augenzwinkern
 
 
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Vielleicht kann man hier die Fredholmsche Alternative nutzen: Für jede Matrix ist . Mangels Skalarprodukt erklärt man das orthogonale Komplement mit Linearformen. Dann ordnet man einem vierdimensionalen Unterraum eine Marix A zu, deren Spalten eine Basis bilden und dieser wiederum den eindimensionalen Raum .
Edit: Der Vollständigkeit halber die Abzählung der vierdimensionalen Unterräume:
TeenTitans Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Mühe, das steckt ja viel mehr hinter als ich dachte. Werde mich demnächst mal in Ruhe damot beschäftigen! smile Danke noch mal, echt cool dieses Forum Freude
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