Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?

19.01.2020, 17:00

tweek

Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?

Hallo!

Wir nehmen gerade die Herleitungen zu Ableitungsregeln durch. Bei der Ableitung der Umkehrfunktion stellt sich mir jedoch eine Sinnesfrage.

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$

Warum nicht einfach gleich $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) \end{eqnarray*}$ ?

Das kann doch nur Sinn haben, wenn die Umkehrfunktion schwer abzuleiten ist, oder?

19.01.2020, 17:08

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?
https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

19.01.2020, 19:16

tweek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?

Zitat:

Original von adiutor62
Wiki-Link

Also kurz gesagt:

Für triviale Aufgaben natürlich belanglos, in speziellen Fällen aber hilfreich. Kann man das so stehen lassen, wenn man nicht gerade Mathe-Student ist? smile

Geht mir nur um das Verständnis der Basics.

Danke jedenfalls.

19.01.2020, 19:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?

Zitat:

Original von tweek
Das kann doch nur Sinn haben, wenn die Umkehrfunktion schwer abzuleiten ist, oder?

So ist es. Typische Anwendungen sind die Ableitungen für die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen (Arcusfunktionen) und der hyperbolischen Funktionen (Areafunktionen). Ansonsten ist die Regel aber auch lokal anwendbar. Kennt man bei einer Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ einen Punkt $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ und die Ableitung $\begin{align*} f'(a) \end{align*}$ , so kann man mit der Regel $\begin{align*} \left( f^{(-1)} \right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} \end{align*}$ bestimmen.
Ich ergänze noch ein Beispiel: Die Quadratfunktion hat den Graphenpunkt $\begin{align*} (3,9) \end{align*}$ mit der Steigung $\begin{align*} 2 \cdot 3 = 6 \end{align*}$ . Also hat die Wurzelfunktion den Graphenpunkt $\begin{align*} (9,3) \end{align*}$ mit der Steigung $\begin{align*} \frac{1}{6} \end{align*}$ .

19.01.2020, 20:19

Nils Hoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?
Mal ein konkretes Beispiel aus der Schule. Die Ableitung der Logarithmusfunktion $\begin{eqnarray*} y = \ln x \end{eqnarray*}$ ist ja erst mal nicht so einfach zu finden. Doch über die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} x = e^y \end{eqnarray*}$ und dem obigen Satz ergibt sich direkt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}e^y}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße,
Nils

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung der Umkehrfunktion - Sinn?

Verwandte Themen