4 Vektoren auf einer Ebene

19.01.2020, 21:04

wallflower97

4 Vektoren auf einer Ebene

Meine Frage:
Hallo. könntet ihr mir bitte bei folgendem Beispiel helfen:

Bestimmen Sie über zwei verschiedene Lösungswege, ob die Punkte:
A=(0,0,7)
B=(-1,0,5)
C=(3,-3,6)
D=(4,4,0)
auf derselben Ebene liegen.

Meine Ideen:
Wenn nur 3 anstatt 4 Vektoren gegeben wären, hätte ich das Bsp. mit det=0 und Spatprodukt gelöst, aber hier habe ich keine Ahnung...

19.01.2020, 21:26

weekender20

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Zitat:

Wenn nur 3 anstatt 4 Vektoren gegeben wären,

Das sind Punkte, keine Vektoren.
Löst das dein Problem schon ?

19.01.2020, 21:37

Leopold

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Hier geht es um Punkte, nicht um Vektoren. Die $\begin{align*} A,B,C,D \end{align*}$ liegen dann auf einer Ebene, wenn die Vektoren $\begin{align*} \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \end{align*}$ linear abhängig sind. Identifiziert man Punkte und Ortsvektoren und verwendet man die Spaltenschreibweise, so heißt das, daß das Verschwinden der Determinante

$\begin{align*} \begin{vmatrix} B-A & C-A & D-A \end{vmatrix} \end{align*}$

die lineare Abhängigkeit anzeigt. Man kann die Unsymmetrie der Bedingung, die sich in der Auszeichnung des Punktes $\begin{align*} A \end{align*}$ widerspiegelt, auch beseitigen und die 4×4-Determinante

$\begin{align*} \begin{vmatrix} A & B & C & D \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{align*}$

betrachten. Sie hat bis auf das Vorzeichen denselben Wert wie die Determinante darüber. Um das zu sehen, addiere man das Negative der ersten Spalte zu jeder der drei anderen Spalten und entwickle schließlich nach der vierten Zeile. Das Verschwinden dieser Determinante zeigt an, ob die vier Punkte auf einer Ebene liegen.

20.01.2020, 22:03

wallflower97

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Lesen sollte man können... Hammer

Ich habe nun die Vektoren AB, AC und AD berechnet.
Stimmt folgendes:
AB=(-1,0,-2)
AC=(3,-3,-1)
AD=(4,4,-7)

Könnte ich jetzt die Komplanarität mittels Determinante und Spatprodukt lösen?
Also wenn das Ergebnis dieser drei Vektoren null wäre, würden dann meine Punkte auch auf einer Ebene liegen?
Gäbe es noch andere Lösungsmöglichkeiten?

PS: Vielen Dank für die rasche Antwort!

wallflower97

20.01.2020, 23:13

weekender20

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Zitat:

Gäbe es noch andere Lösungsmöglichkeiten?

Letzten Endes sind deine beiden genannten Methoden äquivalent zu den elementaren Schulwegen.
In der Oberstufe prüft man, ob 4 Punkte in einer Ebene liegen meist zuerst, indem man aus 3 Punkten eine Ebene in a) Parameterform oder b) Normalenform bildet und anschließend testet, ob der 4. Punkt auch die Ebenengleichung erfüllt.

Der Ansatz für a) wäre dann z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{OD} =\vec{OA} +r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} \Rightarrow \vec{AD} =r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} \end{eqnarray*}$ , wodurch man im Prinzip untersucht, ob der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ durch die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} ~\text{und}~\vec{AC} \end{eqnarray*}$ darstellbar ist oder eben mit anderen Worten, ob $\begin{eqnarray*} \vec{AB},\vec{AC}~ \text{und} ~\vec{AD} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind. (Überprüfung per Determinante oder Lösen eines LGS via Gauss)

Für b) arbeitet man mit einen so genannten Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , der sich aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} ~\text{und}~\vec{AC} \end{eqnarray*}$ ergibt, welcher genau dann orthogonal zum Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ steht, wenn D auch wirklich in der Ebene durch A,B und C liegt. Daher der Ansatz $\begin{eqnarray*} (\vec{AB} \times \vec{AC}) * \vec{AD} =0 \end{eqnarray*}$ , was nichts anderes ist als dein erwähntes Spatprodukt, welches dann ggf. Null wird.

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