Einstichproben-t-Test - Varianz erwartungsgetreu schätzen

20.01.2020, 15:58

mh12671

Einstichproben-t-Test - Varianz erwartungsgetreu schätzen

Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10 %. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwaszugenommen hat. Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden. Man ist sich auch der Zufäalligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95 % des Befragungsergebnisses zufrieden.

(a) Stellen Sie einen Hypothesentest auf und geben Sie die Teststatistik T sowie die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese H1 an.
(b) Bei der Befragung ist herausgekommen, dass 32 Personen die Serie schauen. Hat die Beliebtheit der Serie zugenommen? Berechnen Sie dazu den kritischen Wert der Teststatistik und diskutieren Sie das Ergebnis.
(c) Berechnen Sie den Fehler erster Art und interpretieren Sie diesen.

__________________
Ich bin gerade mit den ganzen Tests etwas durcheinander gekommen. Ich würde mich freuen, falls ihr mir bei meiner Frage etwas unter die Arme greift.
Meine bisherigen Gedankengänge:

Bei einer Stichprobengröße von 200 kann ich ja Normalverteilung unterstellen, das wäre dann der Einstichproben-t-Test. Allerdings fehlt mir für die Formeln bei diesem Test die Varianz. Muss ich die für die Lösung von Aufgabe b "erwartungsgetreu" schätzen? Der Rest ist ja gegeben und wäre kein Problem. Wie würde diese Schätzung aussehen?
So?
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i} - X)^{2}}{n-1} \end{eqnarray*}$

Da die Antwortmöglichkeiten ja/nein sind könnte auch ein Binomialtest mit zwei Gruppen in Frage kommen?

Bei Aufgabenteil a würde ich sinngemäß folgendes schreiben:
H0: Quote kleiner gleich 10%
H1: Quote größer 10%

20.01.2020, 16:21

HAL 9000

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Bei dem Sachverhalt hier geht es nicht um den t-Test, sondern den Binomialtest. Und zwar wird

Nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0:\; p=p_0 \end{eqnarray*}$ gegen Alternativhypothese $\begin{eqnarray*} H_A:\; p>p_0 \end{eqnarray*}$

getestet, mit $\begin{eqnarray*} p_0=0.1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{32}{200} = 0.16 \end{eqnarray*}$ basierend auf einer Stichprobe von $\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$ Werten.

20.01.2020, 18:54

mh12671

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0:\; p=p_0 \end{eqnarray*}$ gegen Alternativhypothese $\begin{eqnarray*} H_A:\; p>p_0 \end{eqnarray*}$

getestet, mit $\begin{eqnarray*} p_0=0.1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{32}{200} = 0.16 \end{eqnarray*}$ basierend auf einer Stichprobe von $\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$ Werten.

Muss es bei der Nullhypothese nicht kleiner gleich heißen? smile

Sonst macht meine nachfolgende Rechnung weniger Sinn.

Ich habe das jetzt so berechnet:
kr = kritische Grenze rechts
$\begin{eqnarray*} P(x\leq kr) \leq 0,05 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-P(x\leq kr-1) \leq 0,05 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,95\leq P(x\leq kr-1) \end{eqnarray*}$
Berechne Wert, bei den WSK erstmals größer als 0,95 ist (Tabelle oder binomcdf). Dies ist der Fall bei binomcdf(200,0.1,27). Dadurch dass wir kr-1 hatten, ist der Wert der Grenze 28.

Das heißt, obwohl der Erwartungswert 200*0,1 ist, sind bei dem gewählten Signifikanzniveau Ergebnisse bis 28 gültig für H0.
Bei allen Werten über 28 wird die Nullhypothese verworfen
In der gegebenen Stichprobe gab es 32 Treffer, also wird die Nullhypothese verworfen.
Die Beliebtheit der Serie ist also gestiegen.

Bei Aufgabe c) ist der erste Fehler doch alpha = 0,05 oder? Das ist die WSK, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie korrekt ist?

Vielen Dank für die Hilfe!

20.01.2020, 20:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von mh12671
Muss es bei der Nullhypothese nicht kleiner gleich heißen?

"Muss" nicht. Diese Sichtweise mit dem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist zwar denkbar, aber ziemlich ärgerlich, was die Verteilung der Testgröße unter $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ betrifft:

Die kennt man dann nämlich nicht, sondern kann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nur in Ungleichungen abschätzen. Was kaum einer berücksichtigt von denen, die da so leichtfertig mit $\begin{eqnarray*} p\leq p_0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} p=p_0 \end{eqnarray*}$ agieren.

20.01.2020, 20:23

mh12671

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von mh12671
Muss es bei der Nullhypothese nicht kleiner gleich heißen?

Das bedeutet, wenn man es mit dem [l]\leq[/l macht, ist es so korrekt wie ich es gepostet habe?
Vielen Dank für Deine kompetente Hilfe!

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