Aufstellen einer trigonometrischen Formel

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kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen einer trigonometrischen Formel
Meine Frage:
Hallo, ich verzweifle daran, eine den Zusammenhang zu verstehen.

Es geht darum d und r zu berechnen. Die Lösung habe ich zwar mit einem CAD Programm ermittelt, aber ich möchte verstehe wie man es ohne lösen kann.

[attach]50448[/attach]

Also denkt euch die Lösung weg smile . (bzw. als Vergleich für eigene Ergebnisse)

Ich bin sehr dankbar für jede Antwort, die es mich verstehen lässt!

Meine Ideen:
d und r stehen in einem Verhältnis ?
DonkeyKong99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim aufstellen einer Formel Trigonometrie
Sind die Werte mit schwarzer Schrift gegeben?
 
 
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim aufstellen einer Formel Trigonometrie
ja genau
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim aufstellen einer Formel Trigonometrie
Willkommen im Matheboard!

Die Hypotenuse a1 und die Gegenkathete h1 ergeben eine Ankathete. Dasselbe gilt für die zweite Hypotenuse a2, deren Gegenkathete offenbar dieselbe Länge wie h1 hat.

Daraus ergeben sich wiederum die Ankatheten zu den beiden symmetrischen Dreiecken, deren Hypotenuse jeweils r ist.

Und die Verlängerung der einen Ankathete um e führt zur gesuchten Hypotenuse d.

Viele Grüße
Steffen
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hat die Gegenkathete der zweiten Hypotenuse nicht die selbe Länge wie h1. Es sieht optisch fast so aus, allerdings sind alle bekannten Maße schwarz. Alle anderen sind irgendwie voneinander abhängig und ergeben sich von alleine.
Ich komme aber einfach nicht drauf.

Ich glaube das man zwei Funktionen ausstellen muss und dann muss man die eine in die andere Einfügen. Mir erschließt sich auch nicht, wie man dadurch 2 Ergebnisse bekommt.

Ich erinnere mich schwach daran das ich sowas mal in der schule hatte. Irgendwas, wobei man x und y ausrechnen konnte um die Gleichung zu lösen.

Was meint ihr dazu? verwirrt verwirrt
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier nochmal eine bessere Darstellung erstellt.

Alles was pink/violett ist ergibt sich aus den gegebenen schwarzen Daten.

[attach]50453[/attach]
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »

"besser " ist leicht übertrieben...
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo SteMa,

also was ich dort abgebildet habe, sind zwei Zustände von 3 beweglichen Hebeln (a,d und r).

a verhält sich wie ein Zylinder, der sich ausdehnen und zusammenziehen kann. Dabei ist a1 eingefahren und a2 ausgefahren. Die Punkte M und W sind dabei fest.

Um herauszufinden welche Längen r und d haben müssen (damit e und f erreicht werden) habe ich auch nur diese Werte eingegeben. Der Abstand M und W Ergiebt sich dadurch auch, also dieser ist vorher nicht bekannt.

Die Skizze ist damit voll definiert -> der Computer kann mit den Angaben (a1,a1,h,e,f) die restlichen Maße bestimmen.

Ich habe nochmal einen beliebigen Zustand eingezeichnet eventuell ist das fürs Verständnis hilfreich.
Wenn sich a verändert, dann verändert sich nur die Strecke WK bzw WY und die Winkel.

Währe es hilfreich, wenn ich eine Tabelle mit Diagramm erstelle, in der a, delta a, und f bzw e gelistet sind?
Eventuell kann man aus dem Kurvenverlauf etwas schlussfolgern?

[attach]50460[/attach]
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Allem Anschein nach sind die Hebel a und r im Punkt P verbunden und r ist zusätzlich im Punkt W fixiert. Wenn sich a ausdehnt, bewegt sich P auf einer Kreisbahn. Ist das so zu verstehen?
Der Hebel d ist allem Anschein nach auch mit P verbunden. Allerdings erschließt sich mir nicht, wie sich sein anderes Ende bewegen soll. Es startet wohl bei K und endet bei V. Aber wie soll es dahin kommen? Rutscht das Ende am Boden entlang? Wie hängt diese Bewegung von a ab? Oder sind die Hebel a und d starr verbunden und d hebt sozusagen vom Boden ab und setzt nach einem Schritt wieder auf? verwirrt
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo URL,

deine Überlegung ist korrekt, P bewegt sich auf einer Kreisbahn und das ende K rutscht/gleitet auf der X-Achse entlang. Dabei ist der Weg,der von dem Punkt K zurückgelegt werden kann, definiert.

Es tut mir leid das die Darstellung und die Beschriftungen nicht so überlegt waren. Ich habe jetzt die Punkte nach Ihrem zustand bezeichnet. Denn K1 und K2 sind die selben Punkte, nur in zwei verschiedenen Zustanden sowie P1 und P2.

[attach]50471[/attach]


Ich habe einfach nochmal ein paar Werte ermittelt und diese in ein Diagramm eingetragen.

[attach]50468[/attach]


Hier noch die Tabelle mit den Werten.
[attach]50469[/attach]
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die Bewegung verstehe:
M, P1, W, K1 kennzeichnen die Ausgangsposition - m.a.W.: M,W,K1 sind vorgegeben (fest definiert)
da sich P auf einer Kreisbahn um W bewegt, ist auch r bestimmt
das (blaue) d ist doch die Länge einer Stange - also auch vorgegeben - dann kann doch nur die Frage sein: zwischen welchen Punkten K1 und K2 bewegt sich das Ende der Stange?
Es könnte aber auch K1 vorgegeben sein, die Frage wäre dann: wie lang ist die Stange (klar) und welchen maximale Position kann das Stangenende erreichen, wenn die maximale Länge von a vorgegeben ist?

Also: mir ist noch allerhand unklar. unglücklich
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid das ich es nicht gut beschrieben habe.
Ich versuche es nochmal Vollständig zu erläutern. Nicht böse sein, wenn ich jetzt nochmal was wiederhole.

Worum geht es?

Es geht darum, die längen d und r zu bestimmen.
Dazu muss der Zusammenhang der gegebenen und gesuchten Größen erkannt werden?

Gegeben sind nur:
a1 = 54,1
a2 = 94,1
h1 = 12
e1 = 5,5
e2 = 45,5


Zusammenhang

Die Abbildung zeigt ein mechanisches Modell im Ausgangszustand. Dabei ist a ein Zylinder in eingefahrener Position.

[attach]50472[/attach]

Wenn a komplett ausgefahren ist, dann ist das Modell im Zustand 2.

[attach]50473[/attach]

Die Strecke zwischen den Punkten M und W ist nicht gegeben, aber muss in beiden Zuständen gleich groß sein.

r und d sind ebenfalls in beiden Zuständen gleich groß.

[attach]50474[/attach]

Die Strecke W K1 / W K2 ist durch e1 und e2 vorgegeben.

Diese Verknüpfung beider Zustände und dessen Differenz (Strecke K1 K2) ermöglicht die Bestimmung von d, r und der Strecke MW . Die Frage ist nur wie verwirrt verwirrt verwirrt ?

Hier ein kleines Video von der virtuellen Bewegung. Da ich laut Froum kein Link einfügen darf muss ich die URL als Text einfügen.

youtu.be/JFV6eatKUwU


Ich hoffe ich habe nichts vergessen Hammer .
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das besagte Video angesehen - für mich stellt sich die Situation so dar (genaue Lage des Kreises, der Punkte u.ä. ist dem Video zu entnehmen):

Ein Punkt X bewegt sich zwischen zwei festen Punkten, die in gleicher Höhe auf einem Kreis liegen, auf einem Kreisbogen hin und her. Der Punkt X ist (z.B. mittels Expander) verbunden mit einem festen Punkt M, ferner mit einer Stange der Länge L (L>r) - die Bedeutung von d geht aus dem Video nicht hervor.
Frage (kann nur sein): Welche Strecke legt das Ende der Stange auf der Ebene zurück?

Tatsächlich sind alle Strecken, die du gemessen hast, berechenbar.
Leider hast du die Strecke MQ nicht gemessen, ebenso einige Winkel. Ich habe rückschließend die fehlenden Teile deiner Zeichnung berechnet und kann - fast - alle Werte bestätigen. Nur für e erhalte ich einen ganz anderen Wert (Schreibfehler?)

Ich habe mit Hilfe von DynaGeo (Freeware) eine Animation angefertigt, die genau dem Video entspricht.
Wenn du mir eine mail-Adresse angibst, kann ich dir das Video schicken.
Meine Berechnung muss ich erst leserlich niederschreiben, was ich morgen erledigen werde.
gruß stema
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »

wie versprochen, anbei meine Überlegungen...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So komplex das ganze im ersten Moment aussieht, es scheint überraschenderweise doch so zu sein, dass man das ganze bei gegebenen explizit nach auflösen kann, und zwar mit einem rein pythagoräischen Ansatz, d.h. ohne jede Winkelbetrachtungen:

Sei zunächst . Dann führen wir noch weitere Zwischenvariablen ein:

... horizontale Kathete des "linken" rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenuse
... horizontale Kathete des rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenuse

Damit ist und somit


.

Außerdem muss gelten




Nun ergeben sich sowohl für (1) als auch (2) ausmultipliziert lineare Gleichungen für , die löst man dann beide und setzt sie gleich, wodurch eine quadratische Gleichung für entsteht. Mit deren Lösung bekommt man dann (s.o.) auch und .


EDIT: Mit dem CAS berechnet und händisch noch etwas "aufgehübscht" kommt raus .
kttm123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo SteMa,

der Punkt K bewegt sich auf der Ebene auf der auch die Punkte W, Q und M liegen.

Mechanisch betrachtet sind die Punkte M und W Fest, alle anderern Verbindungen sind beweglich. Mit fest meine ich, dass sie mechanisch nicht beweglich sind. Der Abstand x ist nicht bekannt (irgenwie ja schon, aber er ist nicht vorgegeben und Ergiebt sich durch die gegebenen Maße).

Die Stange d wandelt die kreisförmige Bewegung, die der Punkt P zurücklegt, in eine liniere Bewegung um.

Hier ist eine Liste aller Gemessenen Daten, zum vergleichen.

[attach]50483[/attach]


Im Anschluss ist noch ein kleines Video, in dem ich die Bemaßung/Vorgaben aus der Skizze lösche und die gegebenen Freiheitsgrade siechbar mache. Da erkennt man ganz gut das dieses Konstrukt mit den 5 gegebenen Größen voll definiert ist. Ich lösche immer nur ein Maß, beginnend mit a1,a2,h1,e1,e2.

youtu.be/uYdx3kzON6k


Hallo HAL 9000,

ich habe deine Formel angewendet und geschockt es stimmt, damit lässt sich x2 berechnen.
Du bezeichnest es als "nicht so komplex", allerdings habe ich wahrscheinlich diesbezüglich einen erweiterbaren Wissensstand.

Das ist echt beeindruckend, seit Tagen überlege ich wie das zusammenhängt. Als ich alle Werte eingeragten habe und auf das Gleichheitszeichen gedrückt habe, kam x2 tatsächlich raus. Du glaubst nicht wie ich mich gefreut habe, 1. weil ich die Formel richtig eingegeben habe und 2. das dieses Mysterium gelöst ist, auch wenn ich noch nicht ganz verstehe wie das Mathematisch funktioniert, aber dafür werde ich mir die Zeit nehmen smile !
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kttm123
Du bezeichnest es als "nicht so komplex"

Naja, ich hab eher gesagt "komplex im ersten Moment, aber überraschenderweise explizit lösbar". Denn ich hatte anfangs befürchtet, es würde auf eine algebraische Gleichung höheren Grades (mindestens 4) hinauslaufen, was sich dann aber nicht bewahrheitet hat.

Die Struktur der Lösungsformel lässt mich vermuten, dass man mit einer geschickteren Wahl von Hilfsvariablen (Seitenlängen) die Herleitung womöglich noch einfacher darlegen kann. Das wär doch was für Leopold. Augenzwinkern
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