Konfidenzintervall für n-fachen Münzwurf

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Ub2504 Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall für n-fachen Münzwurf
Hallo zusammen,

Wir behandeln in einem Statistikmodul momentan das Thema Konfidenzintervalle, und auf dem aktuellen Übungsblatt ist eine Aufgabe, die ich irgendwie so gar nicht verstehe. Die Angabe ist folgende:

Eine gezinkte Münze zeigt Kopf mit Wahrscheinlichkeit und Zahl mit Wahrscheinlichkeit . Beim n-fachen unabhängigen Münzwurf tritt mal Zahl auf.
Zeigen Sie, dass durch ein (1-)-Konfidenzintervall für p gegeben ist.

Wir haben ein (1-)-Konfidenzintervall (bzw. -Bereich), angewandt auf die hier vorliegende Situation, als Abbildung C: definiert, die die Bedingung



erfüllt, wobei der Stichprobenraum und der Paramterraum ist.
Ich verstehe erst einmal nicht, wie das Konfidenzintervall von der konkrete Stichprobe vollkommen unabhängig sein kann, und auch mit der Information, dass bei einem n-fachen Münzwurf n-mal Zahl auftritt, kann ich nichts anfangen. Anfangs dachte ich, dass ich in der Aufgabe ein allgemeines Konfidenzintervall herleiten soll und dann zeigen soll, dass dieses KI für das Ergebnis " n-mal Zahl " genau zu dem obigen Intervall wird, aber hierbei habe ich keine Idee, wie ich ein solches Intervall herleiten soll. Es wäre super, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte.
Zu meinen Vorkenntnissen: Ich studiere Mathematik im ersten Mastersemester, im Bereich Statistik ist das meine erste Vorlesung. Wir haben für Binomialverteilungen auch schon andere KIs hergeleitet (einmal ein sehr grobes unter Verwendung der Chebyshev-Ungleichung, und einmal unter der Annahme, dass unser n sehr groß ist mit Hilfe einer Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung und anschließende Standardisierung).

Vielen Grüße,
ub2504
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall für n-fachen Münzwurf
Zitat:
Original von Ub2504
Ich verstehe erst einmal nicht, wie das Konfidenzintervall von der konkrete Stichprobe vollkommen unabhängig sein kann,

Das ist es doch gar nicht. Es ist doch hier nach einem Konfidenzintervall für ein konkretes Stichprobenergebnis gefragt, nämlich das Stichprobenergebnis mal Zahl bei Versuchen. Für ein anderes Stichprobenergebnis würde sich ein anderes Konfidenzintervall ergeben.

Zitat:
und auch mit der Information, dass bei einem n-fachen Münzwurf n-mal Zahl auftritt, kann ich nichts anfangen.

Was ist denn daran nicht zu verstehen?

Zitat:
Anfangs dachte ich, dass ich in der Aufgabe ein allgemeines Konfidenzintervall herleiten soll und dann zeigen soll, dass dieses KI für das Ergebnis " n-mal Zahl " genau zu dem obigen Intervall wird, aber hierbei habe ich keine Idee, wie ich ein solches Intervall herleiten soll. Es wäre super, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte.

Die Stichprobenergebnisse mal Kopf oder mal Zahl bei Versuchen sind Sonderfälle, die man am besten direkt behandelt, weil eine der beiden Grenzen des Konfidenzinterfalls da schon feststeht.

mal Zahl wird mit Sicherheit bei erreicht und kleiner kann nicht werden. Die untere Grenze des Konfidenzintervalls bei diesem Stichprobenergebnis ist also



Die obere Grenze ergibt sich aus

Ub2504 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf diese obere Grenze?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Na, für ist



Dabei zählt , wie oft man das Ergebnis Kopf hat.entspricht also mal das Ergebnis Zahl.
Ub2504 Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste nach der Konstruktion nicht die rechte Grenze des Intervalls, also 1- mit enthalten sein?

Und wie könnte man jetzt formell nachweisen, dass es sich dabei tatsächlich um ein (1-)-Konfidenzintervall handelt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ub2504
Müsste nach der Konstruktion nicht die rechte Grenze des Intervalls, also 1- mit enthalten sein?

Nach eurer Definition

Zitat:
Zeigen Sie, dass durch ein (1-)-Konfidenzintervall für p gegeben ist.

ist sie nicht enthalten.

Zitat:
Und wie könnte man jetzt formell nachweisen, dass es sich dabei tatsächlich um ein (1-)-Konfidenzintervall handelt?

Das ergibt sich aus der Konstruktionsvorschrift/Definition des Konfidenzintervalls. Sei eine biniomialverteilte Zufallsgröße:



Zur Konstruktion eines einseitigen (linksseitigen) Konfidenzintervalls zum Niveau betrachtet man man die Kurve , die definiert ist durch



Das ist eine monoton steigende Kurve. Bei einem gegebenen Stichprobenergebnis bestimmt man den Schnittpunkt aus
. Das habe ich oben für gemacht. Das linksseitige Konfidenzintervall zum Niveau ist dann das Intervall .

Wenn man Stichproben aus der Verteilung entnimmt, ist die Wahrscheinlichkeit



Das gilt für jedes . Mit anderen Worten: Wenn man für irgendwelche Stichproben nimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Punkte oberhalb oder auf der Grenzkurve liegen . Da die Grenzkurve monoton steigend ist, ist dies gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Punkte links von oder auf der Grenzkurve liegen. Das ist nun gerade die Wahrscheinlichkeit, dass das Konfidenzintervall den unbekannten Wert von überdeckt.
 
 
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