Partialbruchzerlegung nicht möglich?

21.01.2020, 15:14

PhilipohneAhnhung

Partialbruchzerlegung nicht möglich?

Meine Frage:
Eigentlich eine ziemlich banale Aufgabe möchte man meinen. Ich will 2x/(x^2+1) als Partialbruchzerlegung schreiben. Die Nullstellen des Nenners sind offenbar i und -i. Nur wenn ich die Partialbruchzerlegung durchführe, erhalte ich wieder die Funktion. Ich habe mir schon die Frage gestellt, ob das vielleicht so sein soll, aber das Charakteristische bei der Partialbruchzerlegung ist doch, dass die im Nenner das x nur noch linear vorkommt. Oder ist das wegen Komplexer Nullstellen anders (da verwendet man ja ein quadratisches Polynom im Nenner, deshalb kommt auch wieder die alte Funktion heraus, aber meine Frage ist, ob und wenn ja wie man die Funktion nur mit linearen Termen im Nenner schreiben kann, und wenn nicht, warum das nicht gegen die Definition von Partialbruchzerlegung widerspricht).

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass bei komplexen Nullstellen der Nenner nicht nur lineare x enthalten muss

21.01.2020, 15:17

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung nicht möglich?

Zitat:

Original von PhilipohneAhnhung
Meine Frage:
Ich habe mir schon die Frage gestellt, ob das vielleicht so sein soll, aber das Charakteristische bei der Partialbruchzerlegung ist doch, dass die im Nenner das x nur noch linear vorkommt.

Kleiner Irrtum. Die Partialbruchzerlegung liefert lineare oder quadratische Terme, sofern letztere keine reellen Nullstellen haben.
In deinem Fall kannst du einfach den Nenner substituieren. smile

21.01.2020, 15:25

PhilipohneAhnung

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Ah super danke smile

21.01.2020, 15:25

HAL 9000

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Eine komplexe PBZ ist ohne weiteres möglich: $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{x-i} + \frac{1}{x+i} \end{eqnarray*}$

Kommt natürlich auch darauf an, was du damit dann vorhast, d.h., ob du mit diesen dann komplexen Partialbrüchen im weiteren dann umgehen kannst. Augenzwinkern

21.01.2020, 16:02

PhilipohneAhnung

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Ja ich wollte rausfinden, ob man die Funktion auch über Partialbruchzerlegung integrieren kann. (Ist ja jetzt nicht so als ob man die Lösung nicht sehen würde oder man nicht Substitution anwenden könnte, aber es ist ja ne interessante Frage). So weit ich weiß - in meinem ersten Physik-Semester - integriert man eine komplexe Funktion, in dem man Real- und Imaginärteil separat integriert. Wenn man komplexe Nenner hat, muss man ja daraus erstmal eine ordentliche komplexe Zahl machen. Wenn man dann aber mit den komplex konjugierten erweitert, erhält man ja wieder die Funktion selbst - man hat sich also im Kreis gedreht. Deswegen würde ich ja mal schließen, dass diese Funktion nur mittels Substitution zu integrieren ist.

21.01.2020, 19:00

Mathema

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Ich habe dort mal nach einer komplexen PBZ integriert:

Partialbruchzerlegung bei nur einer Nullstelle

22.01.2020, 06:12

Ulrich Ruhnau

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Also Du wolltest eine Alternative zu:
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx =ln(f(x))+c_1=ln\left(\frac{f(x)}{c_2} \right) \end{eqnarray*}$

Die soll sein:
$\begin{eqnarray*} \int{\frac{2x}{x^2+1}}\, dx = \int{\frac{1}{x-i}}\, dx + \int{\frac{1}{x+i}}\, dx= \int{\frac{x+i}{(x-i)(x+i)}}\, dx + \int{\frac{x-i}{(x-i)(x+i)}}\, dx \end{eqnarray*}$

Du hast recht. Die obere Form ist alternativlos.

22.01.2020, 09:40

HAL 9000

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Wie in dem von Mathema geposteten Link zu sehen, kann man auch diese komplexe Partialbruchsumme integrieren. Man muss dabei nur wissen, was man da im Komplexen tut, insbesondere sind Kenntnisse der komplexen Logarithmusfunktion notwendig:

$\begin{eqnarray*} \int \left( \frac{1}{x-i} + \frac{1}{x+i} \right) ~ \dd x = \ln(x-i) + \ln(x+i) + C = \ln(r) - \varphi i + \ln(r) + \varphi i + C = 2\ln(r) + C = \ln(x^2+1) + C \end{eqnarray*}$ ,

denn mit $\begin{eqnarray*} x+i=re^{\varphi i} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} x-i = \overline{x+i} = re^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} r = |x+i| = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \varphi = \operatorname{arg}(x+i) = \operatorname{arccot}(x) \end{eqnarray*}$ . Ähnlich bekommt man

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\dd x}{x^2+1} = \frac{1}{2i}\int \left( \frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i} \right) ~ \dd x = \frac{1}{2i}\left( \ln(r) - \varphi i - \ln(r) - \varphi i\right) + C = -\varphi + C = -\operatorname{arccot}(x) + C \end{eqnarray*}$ .

Das ist unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} \operatorname{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x) \end{eqnarray*}$ sowie der sowieso anfallenden Integrationskonstanten in Übereinstimmung mit dem bekannten Resultat $\begin{eqnarray*} \arctan(x)+\tilde{C} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: "Alternativlos" war nicht grundlos das Unwort des Jahres 2010.

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