Integrale berechnen

22.01.2020, 09:31

noxi

Integrale berechnen

Meine Frage:
bin unsicher wie man solche integrale berechnet
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{n}*\left[nx²\right]_ \, dx <br /> \int_{0}^{1} \! \frac{1}{n²}*\left[nx\right]²_ \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{n}*\left[nx²\right]_ \, dx = \int_{0}^{1} \! (nx³)/(3n) \, dx =1/12 \end{eqnarray*}$

22.01.2020, 09:50

HAL 9000

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Sind Gaußklammern gemeint?
Bist du dir sicher, dass mit $\begin{eqnarray*} [\ldots] \end{eqnarray*}$ gewöhnliche Klammern gemeint sind? Ich hab da so meine Zweifel:

Warum sollte man dann kompliziert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\cdot \left[nx^2\right] \end{eqnarray*}$ schreiben statt der dann doch offenkundigen Vereinfachung $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Meine Vermutung geht eher dahin, dass damit die Gaußklammern $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \ldots \right\rfloor \end{eqnarray*}$ gemeint sind (evtl. auch $\begin{eqnarray*} \left\lceil \ldots \right\rceil \end{eqnarray*}$ ).

Die würden den Integranden zu einer stückweise konstanten Funktion machen, und den Integralwert dann zu einer Summe.

22.01.2020, 10:03

noxi

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hast wahrscheinlich recht
jetzt weiß ich aber überhaupt nicht wie man das berechnet

22.01.2020, 10:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von noxi
hast wahrscheinlich recht

"Wahrscheinlich" ist nicht genug - es wäre gut, wenn du Gewissheit erlangen könntest (nochmal genau den Kontext nachlesen und zur Not nachfragen).

22.01.2020, 10:10

noxi

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unten sind haken wir in der abrundungsklammer
bin mir also ziemlich sicher

22.01.2020, 10:17

HAL 9000

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Fangen wir mal mit dem einfacheren, dem zweiten Integral an: Für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0\leq nx < n \end{eqnarray*}$ , und es gilt $\begin{eqnarray*} \left\lfloor nx\right\rfloor=k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} k\leq nx<k+1 \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} \frac{k}{n}\leq x < \frac{k+1}{n} \end{eqnarray*}$ . Damit können wir das Gesamtintegral aufteilen in Teilintegrale in der Weise, dass dort fest $\begin{eqnarray*} \left\lfloor nx\right\rfloor=k \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int\limits_0^1 \frac{1}{n^2}\cdot \left\lfloor nx \right\rfloor^2 ~ \dd x = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} k^2 ~ \dd x = \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} \end{eqnarray*}$ .

Geht für das erste Integral $\begin{eqnarray*} I_1 = \int\limits_0^1 \frac{1}{n}\cdot \left\lfloor nx^2 \right\rfloor ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ganz ähnlich, nur dass es dort mit der Summenvereinfachung leider nicht so gut klappt.

22.01.2020, 14:10

noxi

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ich komm nicht auf die zweite
dachte sowas wie:
$\begin{eqnarray*} k\leq nx²<k+1 <br /> \sqrt{\frac{k}{n} } \leq x<\sqrt{\frac{k+1}{n} } <br /> \sum\limits_{k=0}^{n-1} \int_{\sqrt{\frac{k}{n} }}^{\sqrt{\frac{k+1}{n} }} \! k/n \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

22.01.2020, 16:02

HAL 9000

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Sieht doch gut aus! Weitere Umformungen ergeben $\begin{eqnarray*} I_1 = \frac{1}{n\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} k\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) \end{eqnarray*}$ für diesen ersten Integralwert.

Viel an Vereinfachung geht da nicht mehr, evtl. sieht man noch $\begin{eqnarray*} I_1 = 1 - \frac{1}{n\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \end{eqnarray*}$ als eine solche an.

Auf alle Fälle hat man in beiden Fällen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} I_1(n) = \lim_{n\to\infty} I_2(n) = \int\limits_0^1 x^2 ~ \dd x = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

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