Dreiecksfläche im Rechteck

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22.01.2020, 10:14

Dopap

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Dreiecksfläche im Rechteck

Die braunen Flächeninhalte sind 3,4 und 5. Gesucht ist die Dreiecksfläche.

[attach]50466[/attach]

22.01.2020, 10:37

HAL 9000

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Da davon auszugehen ist, dass du die Lösung kennst, wäre die Aufgabe doch hier ganz gut aufgehoben? Oder ist es der schlechte Ruf als (weitgehend) schülerfreie Zone, der dich da zögern lässt? Augenzwinkern

22.01.2020, 13:54

Dopap

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von mir aus könnte das auch in die Rätselecke,
aber bisher ist mir nur der Zahlenwert bekannt. verwirrt

22.01.2020, 14:45

HAL 9000

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Gegeben: Flächen $\begin{eqnarray*} U=3,V=5,W=4 \end{eqnarray*}$

Hilfsgrößen:
Rechteck Länge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Breite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit Fläche $\begin{eqnarray*} F=ab \end{eqnarray*}$
Dreieckspunkt unten in Entfernung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von Ecke links unten
Dreieckspunkt rechts in Entfernung $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von Ecke rechts oben

Dann gelten die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} bx = 2U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ay = 2V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-x)(b-y) = 2W \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden in die dritte eingesetzt folgt

$\begin{eqnarray*} 2W = \left(a-\frac{2U}{b}\right)\left(b-\frac{2V}{a}\right) = ab - 2U - 2V + \frac{4UV}{ab} = F - 2(U+V) + \frac{4UV}{F} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = F^2 - 2(U+V+W)F + 4UV = (F-(U+V+W))^2 + 4UV - (U+V+W)^2 \end{eqnarray*}$ ,

Wegen $\begin{eqnarray*} A=F-(U+V+W) \end{eqnarray*}$ folgt damit

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{(U+V+W)^2-4UV} \end{eqnarray*}$ , speziell für deine Zahlenwerte $\begin{eqnarray*} A=\sqrt{84} \end{eqnarray*}$ .

22.01.2020, 19:39

Dopap

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stimmt!

der Wert ist zwar vom Vorgegebenen verschieden, was aber durch Vertauschung von V und W
meinerseits bedingt ist. --->
U und V sind die Flächen die eine der Rechteckseiten als Kathete haben.-

22.01.2020, 22:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
U und V sind die Flächen die eine der Rechteckseiten als Kathete haben.-

Das sollte ja durch deine Skizze in Kombination mit meiner Angabe

Zitat:

Original von HAL 9000
Gegeben: Flächen $\begin{eqnarray*} U=3,V=5,W=4 \end{eqnarray*}$

ja klar und deutlich sein.

22.01.2020, 22:43

teacher1

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Noch eine Variante, ausgehend vom rechtwinklligen Dreieck mit dem Flächeninhalt 5, wobei $\begin{eqnarray*} b_1=\frac{8}{a-\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ das untere Teilstück der Rechteckbreite b darstellt und sich dieser Term aus den anderen beiden gegeben Flächeninhalten ergibt.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot a \cdot (b-\frac{8}{a-\frac{6}{b}})=5 \iff ab - \frac{8ab}{ab-6}=10 \overset{\text{F=ab}}{\iff} F^2-24F+60=0 \iff (F-12)^2=84 \rightarrow F-12=F-3-4-5=\sqrt{84}=A \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, geht das Ganze ziemlich direkt ohne schwierige Umformungen.
Diese Lösung stammt übrigens von einem meiner Schüler der 9.Klasse (ein paar Zwischenschritte und Nebenrechnungen habe ich weggelassen).

22.01.2020, 22:47

HAL 9000

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Ich sehe jetzt keinen substanziellen Unterschied zum obigen Ablauf. verwirrt

Es sieht nur deshalb scheinbar einfacher aus, weil im Gegensatz zu oben gleich mit den konkreten Werten U,V,W gerechnet wurde.

22.01.2020, 22:53

teacher1

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Ich wollte nur mal eine Schülerlösung posten, da ich gemerkt hatte, dass bei diesen Aufgaben von Dopap eh immer nur die alteingesessenen Profis antworten.

Wenn das unerwünscht ist, dann kann es ein Moderator gerne wieder löschen.

22.01.2020, 22:59

HAL 9000

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Na nicht gleich beleidigt sein, klar kannst du hier deine Sicht posten. Wenn aber wie in "direkt ohne schwierige Umformungen" zwischen den Zeilen steht, dass das oben im Gegensatz dazu "kompliziert, mit schwierigen Umformungen" ist, dann verwahre ich mich dagegen: Wenn man zwei, drei (nicht gerade üppig erläuterte) Schritte auf einmal in den Doppelbruch $\begin{eqnarray*} b_1=\frac{8}{a-\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ packt, scheint mir das für andere Schüler auch nicht gerade sonderlich einfach nachvollziehbar zu sein. Augenzwinkern

22.01.2020, 23:14

teacher1

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Also ich sehe das eigentlich ziemlich gelassen, daher bin ich in keinster Weise beleidigt.
Vorige Lösungen in diesem Thread habe ich bisher nicht näher angeschaut und daher beziehe ich mich auch nicht darauf (sonst hätte ich den Zitat-Button gedrückt).
Ich habe die Aufgabe heute Mittag hier gesehen, sie meinen Schülern zum Knobeln gegeben und heute Abend Lust gehabt eine der Lösungen in den Thread zu schreiben - mehr steckt nicht dahinter.

Vielen Dank für deine schönen Aufgaben Dopap, ich hoffe du hast noch einige in petto Wink

23.01.2020, 12:05

Dopap

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@teacher1:

Ich kann gerne in die Rätselelecke posten - siehe oben -
dann werden sich die "alten Haudegen" sicher etwas zurückhalten und
vorerst mal etwas Zeit verstreichen lassen, um anderen Gelegenheit ...

Nur kann ich nicht immer garantieren, dass ich den oder einen der Lösungswege schon kenne.
Handschriftliches Rechnen klappt leider nicht mehr so richtig.

's wäre mir dann sozusagen selbst noch ein Rätsel Augenzwinkern

Alles was zu mehr Beteiligung am MatheBoard sorgt, kann ja nicht schlecht sein.
Vielleicht sagt der Forumsmoderator Equester was dazu ...

25.01.2020, 01:48

klauss

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Zitat:

Original von HAL 9000
... der schlechte Ruf als (weitgehend) schülerfreie Zone ...

In Anbetracht der hochqualifizierten Beiträge sollte der Ruf doch sehr gut sein. Ich hätte aber einen triftigeren Grund gegen eine Verlegung: In der Rätselecke werden Beiträge offenbar nicht vom Beitragszähler erfaßt. Meine eventuellen Mühen würde ich aber schon gern auch dort meßbar belohnt wissen.

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