Glücksrad eiert - Statistischer Test

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Glücksrad eiert - Statistischer Test
Meiner Nachhilfeschülerin muß ich erklären, wie man die folgende Aufgabe löst:
[attach]50476[/attach]
Statistische Tests habe ich während meiner Schulzeit nicht gehabt. Ich habe versucht, mich darin einzulesen, aber trotz dem bleiben bei mir noch Fragen.

1. Warum spricht man oft von ein Nullhypothese , könnte man nicht einfach von einer Hypothese sprechen?

2. Kein Glücksrad kann so genau gebaut werden, daß die Sollwahrscheinlichkeit für Blau genau ist. Selbst wenn das Rat gut gebaut wurde, wird sein und der genaue Wert mit 50% Wahrscheinlichkeit höher und mit 50% Wahrscheinlichkeit niedriger liegen.

3. Unabhängig davon wäre ich jetzt so vorgegangen, daß ich die Nullhypothese stelle:
"Das Glücksrad liefert für Blau genau die Wahrscheinlichkeit ".
Weil das Signifikanznieveau auf 5% gelegt ist, suche ich bei n Versuchen ein k mit

Meine Nachhilfeschülerin hat dafür Tabellen. Ich habe mir die Tabellen mit Matlab generiert. Alternativ kann man auch auf die Seite für Bernoulliverteilung kumuliert gehen.

_k_ _P(n,p,k) _B(n,p,k) für n=100 und p = 0.25
15 0.011083 0.005663
16 0.021111 0.010027
17 0.037626 0.016516
18 0.063011 0.025385
19 0.099530 0.036519

_k_ _P(n,p,k) _B(n,p,k) für n=200 und p = 0.25
36 0.011708 0.004420
37 0.018239 0.006530
38 0.027576 0.009337
39 0.040504 0.012928
40 0.057850 0.017346
41 0.080413 0.022563

_k_ _P(n,p,k) _B(n,p,k) für n=600 und p = 0.25
126 0.012246 0.002794
127 0.015722 0.003476
128 0.020004 0.004282
129 0.025226 0.005222
130 0.031532 0.006306
131 0.039074 0.007542
132 0.048007 0.008932
133 0.058484 0.010477
134 0.070655 0.012171
135 0.084659 0.014004

Grün markiert habe ich die k Anzahlen die signifikant von meinen Erwartungen abweichen würden, wenn die Nullhypothese stimmt.
D.h. Daher würde Jannik seine Vermutung bestätigt sehen, wenn das Glückrad 17 mal oder weniger oft bei Blau stehen bleibt. Löse ich damit Aufgabenteil a ?.

4.Was sage ich denn zu den Aufgabenteilen b und c?
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Überlegungen sind richtig
B(n,p)-Verteilung durch NV approximieren

edit:
falsch gerundet - zur "sicheren" Seite hin bedeutet hier abrunden!
also einmal 39, das andere mal 132
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von SteMa
Überlegungen sind richtig
B(n,p)-Verteilung durch NV approximieren

edit:
falsch gerundet - zur "sicheren" Seite hin bedeutet hier abrunden!
also einmal 39, das andere mal 132

Für n=100 und n=200 existieren Tabellenwerke, sodaß das Umrechnen in eine Normalverteilung da noch nicht notwendig ist. Dort aber, wo es notwendig ist, würde ich lieber nicht aufrunden, da sonst die Signifikanzgrenze überschritten wird.

Übrigens wäre die Formel nützlich gewesen, aber ich habe mir die Formel inzwischen selbst hergeleitet.

Leider gab es auf meine ersten beiden Fragen noch keine Antworten.
Aber trotz dem meinen Dank an SteMa für die Lösungen von b und c!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Leider gab es auf meine ersten beiden Fragen noch keine Antworten.

Das sind keine mathematischen Fragen. Es ist deshalb etwas unklar, was für eine Art Antwort du erwartest.

Zitat:
1. Warum spricht man oft von ein Nullhypothese , könnte man nicht einfach von einer Hypothese sprechen?

Es gibt bei einem Hypothesentest immer zwei Hypothesen, die man sprachlich irgendwie unterscheiden muss. Die Nullhypothese ist die Hypothese, mit der die Rechnung durchgeführt wird. Die andere Hypothese wird Alternativhypothese genannt. Oft ist dies einfach die Negation der Nullhypothese, aber nicht immer. Wer wann diese Bezeichnungen für die beiden Hypothesen eingeführt hat, ist eine Frage für Mathematikhistoriker. Ich weiß es nicht.

Zitat:
2. Kein Glücksrad kann so genau gebaut werden, daß die Sollwahrscheinlichkeit für Blau genau ist. Selbst wenn das Rat gut gebaut wurde, wird sein und der genaue Wert mit 50% Wahrscheinlichkeit höher und mit 50% Wahrscheinlichkeit niedriger liegen.

Das klingt nach einem Einwand, aber wogegen richtet sich der Einwand?
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
noch ein kleiner Hinweis:
@ Ulrich Ruhnau
Runden ist leider unumgänglich - dabei war mir allerdings ein Fehler unterlaufen, den ich aber korrigiert (editiert) habe...
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
[QUOTE]2. Kein Glücksrad kann so genau gebaut werden, daß die Sollwahrscheinlichkeit für Blau genau ist. Selbst wenn das Rat gut gebaut wurde, wird sein und der genaue Wert mit 50% Wahrscheinlichkeit höher und mit 50% Wahrscheinlichkeit niedriger liegen.

Das klingt nach einem Einwand, aber wogegen richtet sich der Einwand?

Dieser Einwand richtet sich gegen einen Teil der Aufgabe, bei der nach einem Test gesagt werden soll, ob Yannik recht hat oder nicht. Hat er nur recht, wenn dies mit wenigen 100 Versuchen statistisch nachweisbar ist?
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
@ Ulrich Ruhnau:
Du mußt wohl jetzt bald zur Lösung der Aufgabe gelangen, denn die Schülerin wartet sicher schon drauf …
Daher ein paar Anregungen zu Deinen Fragen.

Zu 1.
In Fällen wie dem vorliegenden wählt man eben i. d. R. zwei sich gegenseitig ausschließende Hypothesen, was sinnvoll erscheint, da Ergebnis eines solchen Tests nicht der Beweis der Richtigkeit oder Falschheit einer Hypothese ist, sondern eine Wahrscheinlichkeitsaussage auf Grundlage einer Stichprobe.
Objektiv kann oder zutreffen, das wissen wir nicht. Wir erhalten nur einen Entscheidungsvorschlag, dem einen oder anderen den Vorzug zu geben.
2 (objektiv mögliche Zustände) mal 2 (Entscheidungsmöglichkeiten) macht 4 mögliche Fälle des Verhältnisses zwischen obj. Zustand und subj. Entscheidung. In 2 Fällen entscheiden wir uns richtig, in 2 Fällen falsch. Letztere heißen dann Fehler 1. und 2. Art.

Zu 2.
Zweifel an der Sinnhaftigkeit der Aufgabenstellung halte ich insofern hier nicht für zielführend, als Schülern ein Modell beigebracht werden soll, das sich per Kochrezept bearbeiten läßt. Über die Praktikabilität solcher Modelle mögen sich Andere den Kopf zerbrechen.
Mit dem Konstruktionsargument könnte man ja jedes Stichprobenmodell in Zweifel ziehen (Gibt es perfekte Laplace-Würfel oder sind gebrauchte Würfel nicht immer irgendwie an Ecken etwas mehr oder weniger abgewetzt? Sind auf dem Roulette-Tisch nicht doch die Feldbreiten um ein paar Mikrometer verschieden? Deren Herstellung unterliegt vielleicht normalverteilten Schwankungen und stellt somit selbst einen statistischen Untersuchungsgegenstand dar. Usw.)
Mir würde stattdessen ein anderer Kritikpunkt einfallen:
Da das Glücksrad grundsätzlich auf für Blau bei ordnungsgemäßem Lauf ausgelegt ist, hat konstruktionsbedingt keinen nennenswerten Spielraum, nach oben, z. B. auf 0,3, 0,4 …, zu variieren. Sollte also tatsächlich nur wenig kleiner als 0,25 sein, träfe zwar Y.s Vermutung zu, aber die Trennschärfe des Tests wäre unter den Umständen wohl eher bescheiden.

Zu 3.
Als Nullhypothese wäre also zu wählen (hier differiert mein Vorgehen von SteMa), denn dies ist Y.s ausgesprochene Vermutung, die er nur mit max. 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit verwerfen will. Außerdem ist für Y. jedes zwischen 0 und 0,25 "günstig", egal, ob es tatsächlich 0,24 oder 0,1 o. ä. ist. Je kleiner tatsächlich ist, umso größer die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe ein Ergebnis liefert, aufgrund dessen er seine Vermutung nicht verwerfen muß.
Nun wird 100 mal gedreht, dann kann die erzielte Anzahl Blau im Bereich von 0 bis 100 liegen.
Da hier linksseitig orientiert ist, wird Y. von seiner Vermutung nur dann Abstand nehmen, wenn die Anzahl Blau in der Stichprobe "zu hoch" ist, sprich bei . Beträgt die Anzahl Blau höchstens , bleibt aufrechterhalten.
Wegen des gewählten Signifikanzniveaus soll höchstens 5 % betragen, soll demnach mindestens 95 % betragen.
Als Obergrenze des Nichtablehnungsbereichs wählen wir daher das , bei dem die summierte Binomialwahrscheinlichkeit mit (ungünstigster Fall aus Sicht von Y.) und erstmals gleich oder größer 0,95 ist. Das schlagen wir in der Tabelle nach und finden .

Dieses Ergebnis macht zugleich verständlich, warum bei Aufgabe b) gerade das Stichprobenergebnis 64 untersucht werden soll.

Aufgabe c) kann man dann mit Approximation lösen, sofern das im Lehrplan enthalten ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
[QUOTE]2. Kein Glücksrad kann so genau gebaut werden, daß die Sollwahrscheinlichkeit für Blau genau ist. Selbst wenn das Rat gut gebaut wurde, wird sein und der genaue Wert mit 50% Wahrscheinlichkeit höher und mit 50% Wahrscheinlichkeit niedriger liegen.

Das klingt nach einem Einwand, aber wogegen richtet sich der Einwand?

Dieser Einwand richtet sich gegen einen Teil der Aufgabe, bei der nach einem Test gesagt werden soll, ob Yannik recht hat oder nicht. Hat er nur recht, wenn dies mit wenigen 100 Versuchen statistisch nachweisbar ist?

Wie auch schon klauss anmerkt, wird durch einen Hypothesentest nichts defintiv bewiesen. Er sagt nur etwas darüber aus, ob das Stichprobenergebnis auf dem gewählten Signifikanzniveau gegen die Nullhypothese spricht oder nicht.

Der Test hängt auch nicht davon ab, wie gut oder schlecht das Glücksrad gefertigt wurde. Wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist das ja keine positive Bestätigung der Nullhypothese. Nur die Ablehnung der Nullhypothese ist ein starkes Ergebnis.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von klauss
Als Nullhypothese wäre also zu wählen (hier differiert mein Vorgehen von SteMa), denn dies ist Y.s ausgesprochene Vermutung

Nein!
Ein Hypothesentest ergibt ganz prinzipiell keine positive Bestätigung der gewählten Nullhypothese. Wenn man durch einen Hypothesentest also etwas "beweisen" will, muss man als Nullhypothese das Gegenteil dessen annehmen, was man beweisen will. Wird diese Nullhypothese dann durch den Test abgelehnt, so spricht einiges dagegen, dass sie wahr ist, also einiges dafür, dass das Gegenteil wahr ist.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von Huggy
Wenn man durch einen Hypothesentest also etwas "beweisen" will, muss man als Nullhypothese das Gegenteil dessen annehmen, was man beweisen will.

Das mag/wird zutreffen, widerspricht jedoch nicht meinem Ansatz.
Denn wie ich kurz danach beiläufig angemerkt habe, geht es nicht darum, Y.s Vermutung zu "beweisen", sondern darum, dass Y. nur nicht "ohne triftigen Grund" von seiner Vermutung (so fundiert oder willkürlich sie auch sei) abrücken will. Ein solcher triftiger Grund wäre ein "zu hoher" Anteil von Blau in der Stichprobe.
Dieser Ansatz hat sich nach meinen Erfahrungen mit zahlreichen Abituraufgaben stets bewährt, dort finden sich ja auch Fragen zur Wahl von Null- und Alternativhypothese in Abhängigkeit der persönlichen Motivlage.
Und schließlich halte ich auch deshalb wie gesagt Aufgabe b) nicht für "Zufall", solange Ulrich Ruhnau nicht aus erster Hand eine abweichende Musterlösung der Schule präsentiert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksrad eiert - Statistischer Test
Zitat:
Original von klauss
Denn wie ich kurz danach beiläufig angemerkt habe, geht es nicht darum, Y.s Vermutung zu "beweisen", sondern darum, dass Y. nur nicht "ohne triftigen Grund" von seiner Vermutung (so fundiert oder willkürlich sie auch sei) abrücken will. Ein solcher triftiger Grund wäre ein "zu hoher" Anteil von Blau in der Stichprobe.
Dieser Ansatz hat sich nach meinen Erfahrungen mit zahlreichen Abituraufgaben stets bewährt, dort finden sich ja auch Fragen zur Wahl von Null- und Alternativhypothese in Abhängigkeit der persönlichen Motivlage.

Da habe ich große Zweifel, sowohl bezogen auf den Text der konkreten Aufgabe als auch bezüglicher meiner Erfahrungen mit Abituraufgaben.
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