Folge von Funktionen konvergiert

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mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »
Folge von Funktionen konvergiert
Sei (Sn)n die Folge von Funktionen auf R=>0 gegeben durch Sn(x)=
Zeigen sie, dass (Sn)n gegen eine Funktion S konvergiert, die auf R=>0 differenzierbar ist.

Ich weiß wohl dass die Summe nach dem Leibnizkriterium konvergiert weil 1/(x+k) eine positive Nullfolge ist aber wie komme ich auf S?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge von Funktionen konvergiert
Hi,

vielleicht hilft dir folgender Satz: Wenn eine Funktionenreihe konvergiert und die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert, dann ist die Grenzfunktion differenzierbar.

Viele Grüße,
Nils
 
 
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »


ist die ableitung richitg?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich glaube, du bist da auf dem Holzweg. Gefragt ist, ob die Grenzfunktion differenzierbar ist, nicht die Partialsummen (und selbst dafür scheint der Ausdruck nicht zu stimmen ... (-1)^x??).
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist dass ich nicht auf die Grenzfunktion komme
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, das musst du auch nicht. Zeige einfach, dass die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nils Hoppenstedt
(-1)^x??).

Wie das in die vermeintliche Ableitung reinkommt, ist ein noch größeres Mysterium. Augenzwinkern

Das CAS spuckt für die Grenzfunktion übrigens den Term



aus, mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion . Nicht, dass das bei der Aufgabe sonderlich hilft, aber es zeigt wohl, dass eine Darstellung mit "üblichen" Funktionen außer Reichweite liegt.
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin etwas verwirrt
sollte man (-1)/(x+k) ableiten und die reihe davon als konvergent zeigen oder die grenzfunktion ableiten?
zweiteres kann ich schlecht machen weil ich die grenzfunktion nicht kenne
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst.

Nochmal: du sollst Sn(x) ableiten und prüfen, ob die dadurch entstehende Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. Die Kenntnis der Grenzfunktion ist nicht erforderlich.
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »

okay die folge der ableitungen ist
aber wie zeige ich gleichmäßige konvergenz? in der def. für gleichmäßige konvergenz steht doch die grenzfunktion drin
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mimonbaraka
okay die folge der ableitungen ist
aber wie zeige ich gleichmäßige konvergenz?


Hier hilft das Weierstraßsches Majorantenkriterium:
Sei



Gibt es Konstanten , so dass für x und alle k und ist ferner konvergent, dann ist gleichmäßig konvergent.
mimonbaraka Auf diesen Beitrag antworten »


ist das richtig?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Jup! Freude
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