Regelfunktion und Treppenfunktion

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lily01 Auf diesen Beitrag antworten »
Regelfunktion und Treppenfunktion
Meine Frage:
Hey also die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass f: [1,0] -> RR,

f(x) = {(1,x in QQ),(0, sonst)

Keine Regelfunktion ist.


Meine Ideen:
Ich dachte mir, dass ich eben das Gegenteil des Beweises von einer Regelfunktion zeigen soll. Also jetzt :
||Tn(x) - f(x) || konvergiert nicht gegen 0.
Allerdings weiss ich nicht genau, wie der Rechenweg davon aussieht.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eigentlich recht einfach, lässt sich ohne Schwierigkeiten aus den Definitionen schlussfolgern.

Wenn eine Regelfunktion sein soll, dann muss an allen Stellen der links- und rechtsseitge Grenzwert existieren, die beiden Werte dürfen unterschiedlich sein. An den Randstellen muss der einseitige Grenzwert existieren.

Betrachten wir nun . Wenn dort den Grenzwert haben soll (der ist automatisch einseitig, weil Rand), dann muss es zu jedem ein geben, so dass für alle . Das kann aber nicht gehen, weil man für noch so kleines immer noch rationale und nichtrationale Zahlen darin finden kann: Für hinreichend kleines kann nicht mehr und sein.
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