Doppelsumme Umformung

23.01.2020, 21:45

rekauhl

Doppelsumme Umformung

Meine Frage:
Guten Abend liebe Mitbürger,
kann mir jemand diese Umformung erklären?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sum_{n=1}^{k}1)P(X=k) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sum_{k=n}^{\infty}P(X=k)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Vielen Dank.

24.01.2020, 08:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird beidesmal über alle Paare $\begin{eqnarray*} (n,k) \end{eqnarray*}$ natürlicher Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 1\leq n\leq k \end{eqnarray*}$ summiert, und zwar auf beiden Seiten derselbe Summand $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ . Da sollte natürlich auch beidesmal dasselbe herauskommen.

Bei unendlichen Reihen besteht natürlich noch die Frage, ob diese Vertauschbarkeit zulässig ist. Da alle Summanden nichtnegativ sind, ist das der Fall (im Divergenzfall steht dann auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ).

26.01.2020, 14:43

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Doppelsumme Umformung

Zitat:

Original von rekauhl
Meine Frage:
Guten Abend liebe Mitbürger,
kann mir jemand diese Umformung erklären?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sum_{n=1}^{k}1)P(X=k) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sum_{k=n}^{\infty}P(X=k)) \end{eqnarray*}$
Vielen Dank.

Ich halte die rechte Seite der Gleichung für Quatsch.
Die linke Seite ergibt nämlich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sum_{n=1}^{k}1)P(X=k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} kP(X=k))=E(X)=\overline X \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, daß hier der Erwartungswert der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ausgerechnet wird. Die rechte Seite der oberen Gleichung berechnet dagegen etwas anderes.

26.01.2020, 15:23

rekauhl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Doppelsumme Umformung
Auf der rechten Seite steht: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}P(X=k)=\sum_{n=1}^{\infty}P(X \geq n) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautete zu zeigen, dass diese Reihe gleich dem Erwartungswert von X ist, also gleich der linken Seite. Zu erwähnen wäre vllt das X nur nichtnegative Zahlen annimmt.

26.01.2020, 15:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rekauhl
Zu erwähnen wäre vllt das X nur nichtnegative Zahlen annimmt.

Genauer gesagt: nichtnegative ganze Zahlen.

In dem Fall geht es tatsächlich um den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , und zwar auf beiden Seiten der Gleichung.

P.S.: Die Gleichung gilt auch für alle anderen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , nur geht es dann nicht mehr um deren Erwartungswert. Aber das war ja auch gar nicht Bestandteil der obigen Frage.

26.01.2020, 21:12

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Doppelsumme Umformung

Zitat:

Original von rekauhl
Auf der rechten Seite steht: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}P(X=k)=\sum_{n=1}^{\infty}P(X \geq n) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautete zu zeigen, dass diese Reihe gleich dem Erwartungswert von X ist, also gleich der linken Seite. Zu erwähnen wäre vllt das X nur nichtnegative Zahlen annimmt.

Ich muß HAL recht geben. Man muß sich die beiden Summen wie eine unendliche Treppe vorstellen. Erst jetzt wird mir klar, daß rechts der selbe Wert herauskommen muß. Das erkennt man aber erst, wenn man sich das Ganze aufmalt.

Zitat:

Original von rekauhl
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sum_{n=1}^{k}1)P(X=k) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sum_{k=n}^{\infty}P(X=k)) \end{eqnarray*}$

Der linke Teil der Gleichung summiert zeilenweise.
___ _n=1_ _n=2__ _n=3_ _n=4
k=4 P(X=4) P(X=4) P(X=4) P(X=4)
k=3 P(X=3) P(X=3) P(X=3)
k=2 P(X=2) P(X=2)
k=1 P(X=1)

Der rechte Teil der Gleichung summiert spaltenweise.
___ _n=1_ _n=2__ _n=3_ _n=4
k=4 P(X=4) P(X=4) P(X=4) P(X=4)
k=3 P(X=3) P(X=3) P(X=3)
k=2 P(X=2) P(X=2)
k=1 P(X=1)

Neue Frage »

Antworten »

Doppelsumme Umformung

Verwandte Themen