Transformation einer Fläche auf eine andere

24.01.2020, 10:17	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation einer Fläche auf eine andere Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Ich habe eine rechteckige Fläche, deren Zentrum im Ursprung liegt und deren Normale der z-Ache und Längsvektor der x-Achse entspricht. Ich will diese Fläche nun so transformieren, dass das Zentrum einem beliebig, gegebenen Punkt $\begin{eqnarray} $P$ \end{eqnarray}$ und die Normale $\begin{eqnarray} $N$ \end{eqnarray}$ und der Längsvektor $\begin{eqnarray} $L$ \end{eqnarray}$ einem beliebig, gegebenen Vektor entspricht. Mein Ansatz: Zunächst würde ich die Fläche so rotieren, dass sie der gewünschten Lage untspricht und dann im Raum über einen Translationsvektor verschieben. Der Translationsvektor entspricht hier immer einem Vektor vom Ursprung gegeben neuen Zentrum. Mit der Rotation habe ich aber meine Probleme: Die Transformation sollte ja der Transformation vom körperfeste ins raumfesten Koordinatensystem entsprechen: $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\cos \theta \sin \psi &-\sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Indem ich $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}=N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ setze, könnte ich nun $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ berechnen und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ indem ich $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}=L \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ setze. So weit, so gut. Oder auch nicht: Wenn ich nun meine Flächenpunkte mit diesen Winkeln toransformiere, bekomme ich nicht das gewünsche Ergebnis. Kann mir jemand meinen Denkfehler erklären? Liebe Grüße, Leo.
24.01.2020, 13:20	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verwende gerne GeoGebra. Drehungen um die Achsen mach ich mit Do(a,X,Y,Z):=Take({{Y cos(a) + Z cos(a) + X, -Z sin(a), Y sin(a)}, {Z sin(a), X cos(a) + Z cos(a) + Y, -X sin(a)}, {-Y sin(a), X sin(a), X cos(a) + Y cos(a) + Z}} ,1,3) also $\begin{eqnarray} Do\left(\varphi, 1, 0, 0 \right) \; Do\left(\theta, 0, 1, 0 \right) \; Do\left(\psi, 0, 0, 1 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{rrr}\operatorname{cos} \left( \theta \right) \; \operatorname{cos} \left( \psi \right)&-\operatorname{sin} \left( \psi \right) \; \operatorname{cos} \left( \theta \right)&\operatorname{sin} \left( \theta \right)\\\operatorname{sin} \left( \psi \right) \; \operatorname{cos} \left( \varphi \right) + \operatorname{sin} \left( \theta \right) \; \operatorname{sin} \left( \varphi \right) \; \operatorname{cos} \left( \psi \right)&\operatorname{cos} \left( \varphi \right) \; \operatorname{cos} \left( \psi \right) - \operatorname{sin} \left( \theta \right) \; \operatorname{sin} \left( \varphi \right) \; \operatorname{sin} \left( \psi \right)&-\operatorname{sin} \left( \varphi \right) \; \operatorname{cos} \left( \theta \right)\\\operatorname{sin} \left( \varphi \right) \; \operatorname{sin} \left( \psi \right) - \operatorname{sin} \left( \theta \right) \; \operatorname{cos} \left( \varphi \right) \; \operatorname{cos} \left( \psi \right)&\operatorname{sin} \left( \varphi \right) \; \operatorname{cos} \left( \psi \right) + \operatorname{sin} \left( \theta \right) \; \operatorname{sin} \left( \psi \right) \; \operatorname{cos} \left( \varphi \right)&\operatorname{cos} \left( \theta \right) \; \operatorname{cos} \left( \varphi \right)\\\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Da gibt es unterschiede zu Deinem Drehwurm. https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/c6Q7gDmC Vielleicht mal über homogene Koordinaten nachdenken? https://www.geogebra.org/m/j3fqtfcn
24.01.2020, 14:22	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Translation ist bei der genannten Problemstellung offenbar trivial, kann also außen vor bleiben. Die gesuchte Transformation sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Diese kann man aus $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ einfach ablesen als Lösung des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} L=A\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad N = A\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix},\quad N\times L = A\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$
25.01.2020, 10:18	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Ich glaube das Problem ist, dass ich in meinem Algorithmus ein Gimbal-Lock verursache. Ich Probiere es jetzt mal imit den homogenen Koordinaten.

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