Beweis für zweimal stetig differenzierbare Funktion

24.01.2020, 14:21

63xor21

Beweis für zweimal stetig differenzierbare Funktion

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: ~\mathbb R \to ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiere ein $\begin{eqnarray*} c \in ~\mathbb{R^+_0} \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} |f''(x)| \leq c \end{eqnarray*}$ für alle x gilt. Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |f(x+1) - 2f(x) + f(x-1)| \leq 2c \end{eqnarray*}$ gilt für alle x.

Hier mein Beweis:

Wegen $\begin{eqnarray*} |f''(x)| \leq c \end{eqnarray*}$ gilt für alle x: $\begin{eqnarray*} |f'(x+1) - f'(x)| \leq c \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x+1) \leq f(x) + f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x-1) \leq f(x) - f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ .
Ebenso ist $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) \leq f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x-1)-f(x) \leq -f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ .
Also insgesamt $\begin{eqnarray*} |f(x+1) - 2f(x) + f(x-1)| \leq c \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

24.01.2020, 14:31

HAL 9000

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Ich bin noch bereit, bis zur vorletzten Formel mitzugehen, obwohl du deine Formeln fast überall nicht begründet hast (ich nehme an, du tust das auf Basis Taylorformel + Restgliedabschätzung).

Aber wie genau folgst du daraus

Zitat:

Original von 63xor21
Also insgesamt $\begin{eqnarray*} |f(x+1) - 2f(x) + f(x-1)| \leq c \end{eqnarray*}$ .

Das würde ich gern mal hören.

EDIT: Inzwischen hast du aber wieder sinnverändernd rumeditiert... furchtbar.

24.01.2020, 15:12

63xor21

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RE: Mit |f''(x)| <= c soll für alle x gelten: |f(x+1)-2f(x)+f(x-1)| <= 2c
Der Edit sollte einen Tippfehler korrigieren, jetzt ist ein anderer drin.. Hammer

Begründet habe ich das so:

Wegen $\begin{eqnarray*} |f''(x)| \leq c \end{eqnarray*}$ gilt für alle x: $\begin{eqnarray*} |f'(x+1) - f'(x)| \leq c \end{eqnarray*}$ , da ansonsten $\begin{eqnarray*} f''(y) > c \end{eqnarray*}$ für min. ein y zwischen x und x+1.
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x+1) \leq f(x) + f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x-1) \leq f(x) - f'(x) + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ . Das erhält man mit dem Integral der Ableitung.
Ebenso ist $\begin{eqnarray*} |f(x+1)-f(x)| \leq |f'(x)| + \frac{1}{2}c \end{eqnarray*}$ . (Wieder das Integral).
Also insgesamt $\begin{eqnarray*} |f(x+1) - 2f(x) + f(x-1)| \leq c \end{eqnarray*}$ . Das sollte aus der letzten Ungleichung folgen?

24.01.2020, 15:30

63xor21

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Skizze
Hier noch eine Skizze (angehängte Datei bitte ignorieren):

[attach]50491[/attach]

24.01.2020, 15:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von 63xor21
Das sollte aus der letzten Ungleichung folgen?

Wenn Leute sich so ausdrücken, haben sie etwas zu verbergen. Also nochmal: Wie genau soll das folgen?

Bitte herkömmliche (und damit nachvollziehbare) Regeln für das Umformen/Verarbeiten von Ungleichungen verwenden, bzw. evtl. Dreiecksungleichung - akzeptiere ich alles. Aber kein "sollte damit folgen". unglücklich

Und da wir dabei sind: Wie folgt

Zitat:

Original von 63xor21
Das erhält man mit dem Integral der Ableitung.

Details? Wie diese Ungleichungen aus der Taylorformel folgen, weiß ich - aber das hier macht mich neugierig.

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Ich wäre z.B. so vorgegangen: Die Taylorformel sagt $\begin{eqnarray*} f(x+h)-f(x) = hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x+\theta h) \end{eqnarray*}$ mit einem (von $\begin{eqnarray*} x,h \end{eqnarray*}$ abhängigen) $\begin{eqnarray*} \theta\in (0,1) \end{eqnarray*}$ .

Angesichts der Voraussetzung hier haben wir ja $\begin{eqnarray*} -c\leq f''(x+\theta h)\leq c \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} hf'(x) - \frac{ch^2}{2} \leq f(x+h)-f(x) \leq hf'(x) + \frac{ch^2}{2}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Diese Doppelungleichung betrachtet man nun für $\begin{eqnarray*} h=1 \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} h=-1 \end{eqnarray*}$ und summiert beide, es kommt raus

$\begin{eqnarray*} -c \leq f(x+1)-2f(x)+f(x-1) \leq c \end{eqnarray*}$ .

Kann natürlich sein, dass ihr Taylor noch nicht verwenden dürft, sondern vielleicht "nur" den Mittelwertsatz. Aber auch allein mit dem kommt man (über ein paar zusätzliche Zwischenschritte) zu (*). Augenzwinkern

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