Beweis für zweimal stetig differenzierbare Funktion

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63xor21 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für zweimal stetig differenzierbare Funktion
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion existiere ein mit dem für alle x gilt. Zu zeigen: gilt für alle x.

Hier mein Beweis:

Wegen gilt für alle x: .
Dann ist und .
Ebenso ist und .
Also insgesamt .

Stimmt das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin noch bereit, bis zur vorletzten Formel mitzugehen, obwohl du deine Formeln fast überall nicht begründet hast (ich nehme an, du tust das auf Basis Taylorformel + Restgliedabschätzung).

Aber wie genau folgst du daraus

Zitat:
Original von 63xor21
Also insgesamt .

Das würde ich gern mal hören.

EDIT: Inzwischen hast du aber wieder sinnverändernd rumeditiert... furchtbar.
63xor21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mit |f''(x)| <= c soll für alle x gelten: |f(x+1)-2f(x)+f(x-1)| <= 2c
Der Edit sollte einen Tippfehler korrigieren, jetzt ist ein anderer drin.. Hammer

Begründet habe ich das so:

Wegen gilt für alle x: , da ansonsten für min. ein y zwischen x und x+1.
Dann ist und . Das erhält man mit dem Integral der Ableitung.
Ebenso ist . (Wieder das Integral).
Also insgesamt . Das sollte aus der letzten Ungleichung folgen?
63xor21 Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze
Hier noch eine Skizze (angehängte Datei bitte ignorieren):

[attach]50491[/attach]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 63xor21
Das sollte aus der letzten Ungleichung folgen?

Wenn Leute sich so ausdrücken, haben sie etwas zu verbergen. Also nochmal: Wie genau soll das folgen?

Bitte herkömmliche (und damit nachvollziehbare) Regeln für das Umformen/Verarbeiten von Ungleichungen verwenden, bzw. evtl. Dreiecksungleichung - akzeptiere ich alles. Aber kein "sollte damit folgen". unglücklich

Und da wir dabei sind: Wie folgt

Zitat:
Original von 63xor21
Das erhält man mit dem Integral der Ableitung.

Details? Wie diese Ungleichungen aus der Taylorformel folgen, weiß ich - aber das hier macht mich neugierig.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Ich wäre z.B. so vorgegangen: Die Taylorformel sagt mit einem (von abhängigen) .

Angesichts der Voraussetzung hier haben wir ja und damit



Diese Doppelungleichung betrachtet man nun für sowie auch und summiert beide, es kommt raus

.

Kann natürlich sein, dass ihr Taylor noch nicht verwenden dürft, sondern vielleicht "nur" den Mittelwertsatz. Aber auch allein mit dem kommt man (über ein paar zusätzliche Zwischenschritte) zu (*). Augenzwinkern
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