Charakteristisches Polynom einer Linearen Abbildung

24.01.2020, 21:01	Milluki	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom einer Linearen Abbildung Meine Frage: Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit dim(V)=n, Sei f V->V eine lineare Abbildung dessen charakteristisches Polynom in linear Faktoren g(x)f(x) zerfällt mit ggT(g,h)=1. 1)Sei V_g:=ker(g(f)) und V_h:=ker(h(f)). Zeige V_g und V_h sind paarweise disjunkt und f-stabil. 2) Zeige dim(V_g)+dim(V_h)=n Meine Ideen:* Ich versthe die Aufgabe nicht richtig, wäre nett wenn mir jemand Tipps geben könnte. Man soll bei 1) zeigen dass es kein v?V gibt für das gilt g(f(v))=0 und h(f(v))=0 oder? Was heißt f-stabil? Hab es gegoogelt aber nichts gefunden.
24.01.2020, 22:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1) zu zeigen : 1.1) g(f)(v)=0 und h(f)(v)=0, dann ist v=0. 1.2) f(V_g)<=V_g, f(V_h)<=V_h 2) zu zeigen : V_g und V_h sind komplementaere Untervektorraeume von V. Die Voraussetzung "linear Faktoren g(x)*f(x)" ist unverständlich und vermutlich falsch. Es könnte sich lohnen, den Beweis von Cayley-Hamilton anzusehen, denn der sagt in dieser merk-würdigen Notation : V=V_char(f)=ker(char(f)(f)), und zweifellos ist V f-stabil, ebenso ker(f) und 0. Noch besser wäre es, wenn du die Jordan-Normalform anschauen möchtest. Frage: Braucht man überhaupt die Voraussetzung, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt ? In einem Zerfällungskörper zerfällt es immer und liefert die Eigenwerte von f. Dass die Teiler des charakteristischen Polynoms relativ prim sind, ist dagegen wesentlich, denn dadurch erhält man die verallgemeinerten Eigenräume, also die Haupträume.
25.01.2020, 11:18	Milluki	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Gäbe es v sodas g(f(v))=0 und h(f(v))=0 dann gilt für g und h g(x)=(x-a1)(x-a2)..(x-ai) h(x)=(x-b1)(x-b2)...(x-bi) dass mindestens ein ak=bj dann ist der ggT(g,f)=(x-ak)=(x-bj) ggT soll 1 sein also folgt v=0
25.01.2020, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} g(f(v)) \end{eqnarray}$ ist undefiniert. Was soll z. B. für $\begin{eqnarray} g(x)=x^3 +1 \end{eqnarray}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray} f(v)^3 +1 \end{eqnarray}$ bedeuten? Vektoren kann man nicht multiplizieren oder potenzieren. 2. Wie begründest du deine wilde Behauptung? Für das Beispiel $\begin{eqnarray} g(x)=x^3+1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g(f)(v)=(f^3+\iota)(v)=f^3(v)+\iota(v)=f(f(f(v)))+v \end{eqnarray}$ wohldefiniert. Es geht darum, dass die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als Argument eines Polynoms eingesetzt wird und $\begin{eqnarray} g(f) \end{eqnarray}$ wieder eine lineare Abbildung ist, und diese kann man auf Vektoren anwenden. (Wie im Satz von Cayley-Hamilton, deshalb habe ich empfohlen, den zu wiederholen.)

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