Zeige: Veronese-Abbildung ist eine Einbettung

25.01.2020, 13:14	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: Veronese-Abbildung ist eine Einbettung Hallo ihr lieben Ich möchte zeigen, dass die Verone-Abbildung eine Einbettung ist. Die Abbildung lautet: $\begin{eqnarray} \phi_{O(d)} : \mathbb P^n \rightarrow \mathbb P^N, (z_0: \dots : z_n)\mapsto(z_0^{i_0}\cdot\dots\cdots z_n^{i_n})_{i_0,\dots,i_n} \end{eqnarray}$ Als Beispiel habe ich mal n=3, d=2 genommen. $\begin{eqnarray} (z_0 : z_1 : z_2)\mapsto (z_0^2 : z_0z_1 : z_0z_2 : z_1^2 : z_1z_2 : z_2^2) \end{eqnarray}$ Gut, was insgesamt dort passiert ist mir klar. Um die Einbettung zu zeigen, muss ich zeigen, dass es injektiv, stetig und offen ist. Ich fände es ganz toll, wenn mir jemand nach und nach auf die Sprünge hilft, da ich bei den einzelnen Punkten immer wieder auf Schwierigkeiten stoße Meine Ideen zur Injektivität. Zeige: $\begin{eqnarray} x\neq y \Rightarrow \phi(x)\neq\phi(y) \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb P^n \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} x=(x_0 : \cdots : x_1), y=(y_0 : \dots : y_n) \end{eqnarray}$ . Diese seien nicht gleich. Es gibt also einen Index $\begin{eqnarray} k : x_k\neq y_k \end{eqnarray}$ . Beweis durch Widerspruch. Würde nun $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ gelten, dann wären alle Monomo gleich. Insbesondere also $\begin{eqnarray} x_k^d = y_k^d \end{eqnarray}$ . Dies ist zumindest für Fall $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ungerade ein Widerspruch. Nun hänge ich am Fall, dass d gerade ist. Ein Monom der Form $\begin{eqnarray} x_k^{d-1}x_l \end{eqnarray}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray} y_k^{d-1}y_l, l>k \end{eqnarray}$ brachte mir noch keinen Erfolg Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Freue mich auf jede Antwort LG Maren Edit: Ah. Wenn ich $\begin{eqnarray} x_k^{d-1}x_l = y_k^{d-1}y_l, l>k \end{eqnarray}$ betrachte, dann ist d-1 ungerade. Ich hatte im Sinn hier vielleicht induktiv zu argumentieren. Also zu sagen, $\begin{eqnarray} x_k^{d-1} = y_l^{d-1} \end{eqnarray}$ , was wir ja ausschließen, also muss $\begin{eqnarray} x_l = y_l \end{eqnarray}$ gelten. Geht die Argumentation?

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