Lineares Gleichungssystem Lösungsraum

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Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Lösungsraum
Meine Frage:
Ich habe hier eine Single Choice Frage aus einer Probeprüfung, bei der ich etwas feststecke:

(I) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b und den Lösungsraum Lös(A,b) (...jeweils für alle A in M(m x n, K) , b in K^m

a) Lös(A,b) K^n ist ein Untervektorraum
b) Falls K = Z/5Z und x, y in Lös(A, b) so ist
c) Falls K = Z/7Z und x, y in Lös(A,b) so ist
d) Es ist dim(Lös(A,b)) = n - m



Meine Ideen:
Ich bin mir sicher, dass ich d) ausschliessen kann, da die Dimension des Lösungsraums nach dem Rangsatz dann n - Ker(A, b) ist.

a) würde ich auch eher ausschliessen, da nicht abgeschlossen unter Addition. Ist das so korrekt?

Bei b und c habe ich keine Ahnung, was da korrekt sein könnte. Das Konzept mit den Restklassenringen ist mir bekannt, ich verstehe aber nicht so richtig, wie ich das jetzt auf das hier anwenden soll. Wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte, wäre ich sehr dankbar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Berechne in und in , dann wird alles klar sein.
Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch bzw. ich habe etwas Anlaufschwierigkeiten, wieder in das Thema hineinzukommen:
Also v ist der Stützvektor, der ker(A) vom Ursprung "wegschiebt". Und sind dann beliebige Vektoren im Kern von A. Soweit korrekt?

Dann rechne ich jetzt

In tut sich da nicht viel, in
erhalte ich

Jetzt würde ich behaupten, da der Kern ein UVR ist und somit unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist, liegt immer noch im Kern und ich habe wieder genau 1 mal den "Verschiebungsvektor" v, somit müsste die Lösung b korrekt sein.

Ist mein Lösungsweg halbwegs korrekt so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baumstamm
... da der Kern ein UVR ist und somit unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, liegt immer noch im Kern und ich habe wieder genau 1 mal den "Verschiebungsvektor" v, somit müsste die Lösung b korrekt sein.

Ist mein Lösungsweg halbwegs korrekt so?


so geht's
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