Interpolation

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Heyho95 Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation
Meine Frage:
Guten Tag,

Ich verstehe das Interpolationsverfahren an sich, also das Prinzip. Nun habe ich aber bei meiner Aufgabe folgendes gegeben:
P1(-2, -39) m(x=2)=74
P2(3, 256) m(x=3)= 244

Naja mit den Bedingungen und Ableitungen über Gauß hätte man schnell ein Lösungssystem aber es ist zwingend das Ich das mit dem Interpolationsverfahren machen soll. Newton scheint für mich etwas einfacher zu sein.

Ich soll zu den oben genannten Punkten ein Polynom 3. Grades bilden.



Meine Ideen:
Wenn ich mir die Tabelle anschaue habe ich jetzt fehlende Punkte von x2,x3 und y2,y3. Die sind meiner Meinung nach nicht ersichtlich. Durch die Steigung an den Punkten müsste ich Koeffizienten damit herausbekommen, habe aber leider überhaupt keinen Ansatz wie ich das schaffen könnte. :-(
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation
Zitat:
Original von Heyho95
Ich verstehe das Interpolationsverfahren an sich, also das Prinzip. Nun habe ich aber bei meiner Aufgabe folgendes gegeben:
P1(-2, -39) m(x=2)=74
P2(3, 256) m(x=3)= 244

Scanne bitte den Aufgabentext, und hänge ihn hier an!
Zwei Unklarheiten sind zu klären:
1. Soll m(x=2) bedeuten "Steigung an der Stelle " ?
2. Soll P1(-2,-39) nicht lieber P1(2,-39) heißen?
Heyho95 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, das wäre hier die Aufgabe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b) Jede (!) echt kubische Funktion ist punktsymmetrisch bzgl. ihres Wendepunktes.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was der Aufgabensteller mit Hauptform und Polynomentwicklung genau meint, jedoch habe ich in dem Numerikbuch von Martin Hermann auf Seite 350 die Hermitinterpolation gefunden, mit der man die Polynome dergestalt entwickelt, daß nicht nur der Punkt, sondern auch die Ableitung in dem Punkt vorgegeben wird.

Wir brauchen zunächst mal die Lagrangefaktoren.



Wenn die Ableitungen keine Rolle spielen würden, wäre das gesuchte Polynom



Aber so einfach können wir es uns nicht machen. Für die Hermitinterpolation brauchen wir die Hermitfaktoren,



damit wir wie folgt interpolieren:



Den Rest mußt Du machen.
interpol Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber es ist zwingend das Ich das mit dem Interpolationsverfahren machen soll. Newton scheint für mich etwas einfacher zu sein.


Es gibt bei der Hermite-Interpolation auch ein (zweiteiliges) relativ einfaches Rechenschema.
Im zweiten Teil dieses Schemas findet dann sowieso wieder die Newtoninterpolation statt, welche du ja zu kennen scheinst.

Ich hänge mal zwei Bilder an, damit sollte es eigentlich dann klappen.
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zu b) Jede (!) echt kubische Funktion ist punktsymmetrisch bzgl. ihres Wendepunktes.

Was ist den eine echt kubische Funktion? Darf diese auch komplexe Nullstellen haben?
Mir war die von mir vorgeschlagene hermitInterpolation zu kompliziert um sie auch durchzuführen. Deshalb bin ich auf so eine Art Vandermonde-Ansatz ausgewichen.



Damit habe ich das folgende Polynom gefunden.

[attach]50517[/attach]

Der Wendepunkt dieses Polynoms liegt bei . Die Nullstellen des Polynoms liegen bei

Jetzt ist ja nur noch die Punktsymmetrie im Wendepunkt zu prüfen. Lässt sich das Polynom auf die folgende Form bringen? verwirrt



Ausmultipliziert ergibt es was leider nicht das selbe ist wie . Erstaunt1
Das muß anders gehen. Wie der nachfolgende Graph zeigt, könnte die Formel doch einfach die Form haben.

[attach]50519[/attach]

Dann ist , womit die Punktsymmetrie um den Wendepunkt gezeigt wäre. Vielleicht sollte ich nur noch das passende g herausfinden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Was ist den eine echt kubische Funktion? Darf diese auch komplexe Nullstellen haben?

Der Koeffizient von darf nicht Null sein. Die Art der Nullstellen ist irrelevant.

Zitat:
Jetzt ist ja nur noch die Punktsymmetrie im Wendepunkt zu prüfen. Lässt sich das Polynom auf die folgende Form bringen? verwirrt



Weshalb sollte es? Die allgemeine Form des zum Punkt punktsymmetrischen Polynoms vom Grad 3 ist doch

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Die allgemeine Form des zum Punkt punktsymmetrischen Polynoms vom Grad 3 ist doch


Du hast vollkommen recht. Bislang hatte ich noch nicht so viel mit Polynomen 3. Grades zu tun. Daher der Umstand!
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