Ringhomomorphismus

25.01.2020, 16:00	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismus Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:R\Rightarrow \end{eqnarray}$ S ein Ringhomomorphismus, dann gilt : a) $\begin{eqnarray} T \leq R \Rightarrow f(T) \leq \end{eqnarray}$ S und I $\begin{eqnarray} \vartriangleleft R \Rightarrow f(I)\vartriangleleft f(R) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} T \leq S \Rightarrow f^{-1}(T)\leq R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \vartriangleleft S \Rightarrow f^{-1}(T) \vartriangleleft R \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Auf den Bildern sind meine Versuche. Ich bin mir nicht sicher, ob sie korrekt sind. Vorschläge oder Korrekturen sind willkommen!! Danke
25.01.2020, 17:03	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass das Symbol " $\begin{eqnarray} \vartriangleleft \end{eqnarray}$ " bedeutet, dass das was links davon steht ein Ideal in dem Ring ist, der rechts steht? In diesem Fall bitte ich um die wortwörtliche Aufgabenstellung. Ein paar der Aussagen, die du hier zu beweisen versuchst, sind nämlich falsch.
26.01.2020, 18:42	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich konnte leider die passende Symbol nicht finden
26.01.2020, 19:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass die Begriffe noch nicht ganz sauber sind. Du musst nicht nur zeigen, dass das Bild eines Teilrings eine Teilmenge sondern ein Teilring ist. Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kein Isomorphismus sondern nur ein Homomorphismus ist, darfst du nicht von einer Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ ausgehen, du musst vielmehr die Urbilder $\begin{eqnarray} f^{-1}(S') \end{eqnarray}$ betrachten. Auch der letzte Teil scheint mir nicht ganz richtig zu sein: das Urbild eines Ideals soll ein $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Ideal und nicht nur ein $\begin{eqnarray} f^{-1}(S) \end{eqnarray}$ -Ideal sein.
26.01.2020, 20:57	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich das genaau beweisen?
26.01.2020, 21:12	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, habe mich verlesen. So wie es da steht, stimmen die Aussagen. Elvis gibt schon ganz gute Hinweise. Schauen wir mal den letzten Teil an: Sei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist. Es ist also zu zeigen: $\begin{eqnarray} f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ ist nicht leer. Für alle $\begin{eqnarray} a,b \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a-b \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} a \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r \in R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} ra \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ . (Das ist die Version für kommutative Ringe. Für nicht-kommutative Ringe beweist der dritte Stichpunkt, dass es sich um ein Linksideal handelt.) Ich zeige dir exemplarisch den letzten Stichpunkt, den Rest darfst du machen. Sei also $\begin{eqnarray} a \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r \in R \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} f(ra) = \underbrace{f(r)}_{\in S} \cdot \underbrace{f(a)}_{\in T} \in T \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist. Also gilt $\begin{eqnarray} ra \in f^{-1}(T) \end{eqnarray}$ , wie zu beweisen war.
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