Lineare Abbildung und Einschränkung

25.01.2020, 21:30	Lidlhemd	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Einschränkung Meine Frage: [attach]50500[/attach] [attach]50501[/attach] Meine Ideen: a)f/vi(ax)=f(ax)=af(x)=af/vi(x) f/vi(x+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=f/vi(x)+f/vi(y) b)da es f/vi für alle vi gibt und v1+v2..+vs=V gibt es f/v was identisch mit f ist. c)gi in End(Vi) also ist gi:Vi->Vi. gi(x) in Vi, gi=f/vi ->f/vi(x) in Vi
26.01.2020, 08:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formeln genügen nicht, um etwas zu beweisen. Du musst die jeweiligen Voraussetzungen, Folgerungen und Begründungen aufschreiben - wenn möglich mit LATEX, so dass man alles lesen und verstehen kann.
26.01.2020, 10:27	Lidlhemd	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} f\|_{vi}(ax)=f(ax)=af(x)=af\|_{vi}(x)<br /> f\|_{vi}(x+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=f\|_{vi}(x)+f\|_{vi}(y) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f\|_{v1}\cap f\|_{v2}\cap ...\cap f\|_{vi}=f\|_{v}=f \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} g_i\in End(V_i)\Rightarrow g_i:V_i -> V_i, f\|_{vi}=g_i\Rightarrow f\|_{vi}:V_i -> V_i\Rightarrow f\|_{vi}(x)\in V_i \end{eqnarray}$
26.01.2020, 10:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lesbarkeit erleichtert die Kritik, das ist schon mal gut. Es fehlen sämtliche Quantoren, also weiß man nicht, für welche Vektoren und für welche Skalare die Aussagen gelten sollen. Groß- und Kleinschreibung wird unbekümmert durcheinander gebracht. Was bedeutet in b) der Durchschnitt von Funktionen ? So etwas hat die Welt noch nicht gesehen. Wenn das ein f wäre (was es m.E. nicht ist), warum wäre das dann eindeutig ? Bei c) fehlt die Umkehrung, denn es soll "genau dann wenn" bewiesen werden.
26.01.2020, 11:04	Lidlhemd	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} a\in K <br /> x,y\in V_i \end{eqnarray}$ b) Das Argument ist wenn f für alle Vi eine lineare Abbildung ist dann ist es das auch für V weil V=Summe aller Vi und die Einschränkung auf V ist wieder f, ist das richitg? Wenn ja wie schreibt man das formal richtig auf? c) $\begin{eqnarray} f(V_i)\subset V_i\Rightarrow f\|_{vi}(V_i)=V_i, g_i=f\|_{vi}\Rightarrow g_i(V_i)=Vi\Rightarrow gi:V_{i}->V_{i}\Rightarrow gi\in End(V_i) \end{eqnarray}$
26.01.2020, 11:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchstücke von Beweisen sind immer ungenügend. Ein Beweis muss stets alle Voraussetzungen enthalten, fängt also immer mit "Sei ..." an, damit man im weiteren darauf zurückgreifen kann. Dann kommen einige logische Folgerungen in einer locker lesbaren Form von Formeln und Erläuterungen. Am Ende wird festgestellt, was damit bewiesen wurde, und man schreibt qed, um den Beweis abzuschließen. a) $\begin{eqnarray} a\in K \end{eqnarray}$ genügt nicht. Du musst schreiben $\begin{eqnarray} \forall a\in K \end{eqnarray}$ . b) Du sollst zeigen, dass es ein f gibt, und dass f eindeutig ist. Du kannst auf keinen Fall mit f beginnen, bevor du es konstruiert hast. c) enthält logische Fehler. Tipp: Alles noch mal von vorn und vollständig aufschreiben. Es ist deine Aufgabe, Beweise zu führen und nicht Teile von Beweisen, die der Leser vervollständigen muss. Ein Buch, das so beweisen würde wie du, würdest du zurecht in die Altpapiertonne werfen.
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26.01.2020, 13:03	Lidlhemd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich begreife b) nicht. Wie zeige ich denn Eindeutigkeit? Soll man ein konkretes Beispiel nennen? Sei $\begin{eqnarray} f:V->V, x->f(x) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \forall x\in V_i f(x)=f\|_{vi}(x)=g_i(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ ist eindeutig definiert also auch $\begin{eqnarray} f \forall V_i \end{eqnarray}$
26.01.2020, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt sind wir am entscheidenden Punkt angekommen, so dass alles was ich bisher gesagt habe, von dir verstanden werden kann. Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} V=V_1\oplus ... \oplus V_s \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Dann ist jedes $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ eindeutig als Summe $\begin{eqnarray} v=v_1+...+v_s \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_i\in V_i \end{eqnarray}$ darstellbar. (Voraussetzung und logische Folgerung !) Seien $\begin{eqnarray} g_i:V_i\to V, (i=1,....s) \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen. (Voraussetzung !) Zu zeigen: Es gibt genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\|_{V_i}=g_i,(i=1,...,s) \end{eqnarray}$ Beweis: Es sei $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} v=v_1+...+v_s \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_i\in V_i \end{eqnarray}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray} f(v):=g_1(v_1)+...+g_s(v_s) \end{eqnarray}$ . ... und jetzt wird es dir leicht fallen, nachzurechnen, dass dies eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist, dass wegen $\begin{eqnarray} (\forall v_i\in V_i)\;f(v_i)=f(0+...+0+v_i+0+...+0)=g_1(0)+...+g_i(v_i)+...+g_s(0)=g(v_i) \end{eqnarray}$ die Bedingung $\begin{eqnarray} f\|_{V_i}=g_i \end{eqnarray}$ gilt, und wenn dasselbe für $\begin{eqnarray} h:V\to V \end{eqnarray}$ gilt, ist klar $\begin{eqnarray} (\forall v\in V)\;f(v)=f(v_1+...+v_s)=g_1(v_1)+...+g_s(v_s)=h(v_1+...+v_s)=h(v) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eindeutig. qed. Ich sage es gern noch einmal: Alle Voraussetzungen aufschreiben, logische Folgerungen ziehen, Ideen sauber und vollständig aufschreiben, Formeln und Erläuterungen so kombinieren, dass man es lesen und verstehen kann, alles schrittweise beweisen, was zu beweisen ist, und den Beweis mit qed abschließen.

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