Gramsche Matrix

25.01.2020, 23:42

MaddieMathe

Gramsche Matrix

Meine Frage:
Hey Leute! Habe hier eine Aufgabe, in der ist die Gramsche Matrix A eines Skalarprodukts bezüglich einer Basis des R^3 angegeben. Was mich verwirrt, ist, dass A oben links eine 0 stehen hat.

Wie kann das sein? Dann müsste doch <b1,b1> = 0 und folglich b1 = 0 gelten, da positiv definit? (b1 ist der erste Basisvektor der Basis B)

Meine Ideen:
Keine, ich verstehe es nicht. Denn wäre b1 = 0, dann wäre B ja keine Basis

26.01.2020, 00:11

MaddieMathe

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RE: Gramsche Matrix
Mich beschleicht langsam der Verdacht, dass in den Aufgaben eine andere Defintion von "Skalarprodukt" verwendet wird als die, die ich kenne.

Mein Verständnis: Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite, symmetrische Bilinearform (ist nicht ausgeartet zu sen eig. auch eine notw. Bedinung fürs Skalarprodukt?)

Hier in den Aufgaben stehen aber Fragen wie "Ist das Skalarprodukt positiv definit?". Glaube, die meinen eigentlich Bilinearformen...

Was meint ihr?

26.01.2020, 07:34

Finn_

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Jedes Skalarprodukt ist nicht ausgeartet.

Beweis. Sei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Bilinearform. Sei
$\begin{eqnarray*} \Phi(v)(w) := B(v,w) \end{eqnarray*}$ ,
d.h. $\begin{eqnarray*} \Phi(v) \end{eqnarray*}$ ist die Partialapplikation von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}(\Phi)=\{0\} \end{eqnarray*}$ , dann heißt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht ausgeartet.

Zu bestimmen ist
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}(\Phi) := \{v\mid \Phi(v)=0\}, \end{eqnarray*}$

hierbei ist
$\begin{eqnarray*} \Phi(v)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \forall w\colon \Phi(v)(w)=0(w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \forall w\colon B(v,w)=0. \end{eqnarray*}$

Wenn die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ erfüllt sein soll, dann auch für $\begin{eqnarray*} w:=v \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} B(v,w):=\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt. Gemäß positiver Definitheit hat man dann aber
$\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle = 0 \iff v=0. \end{eqnarray*}$

Somit muss $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}(\Phi) = \{0\} \end{eqnarray*}$ sein.
q.e.d.

Bei einem Skalarprodukt schreibt man auch $\begin{eqnarray*} v^\flat:=\Phi(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega^\sharp := \Phi^{-1}(\omega) \end{eqnarray*}$ , und spricht von den musikalischen Isomorphismen. Andere bezeichnen stattdessen $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ als kanonischen Isomorphismus.

26.01.2020, 08:38

Leopold

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RE: Gramsche Matrix

Zitat:

Original von MaddieMathe
Glaube, die meinen eigentlich Bilinearformen...

Was meint ihr?

Ich stimme dir zu: Die Gramsche Matrix einer Basis des $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ kann in der Hauptdiagonalen keine Nullen besitzen. Irgendwie ist in dieser Aufgabe der Wurm. Im harmlosesten Fall ist es ein Schreibfehler. Vielleicht ist die Aufgabe aber auch so gemeint: Gegeben eine Bilinearform und eine Basis des $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ und deren Gramsche Matrix bezüglich der Bilinearform. Kann die Bilinearform ein Skalarprodukt sein? Und die erwartete Antwort ist nein. Den Grund dafür hättest du genannt.
Wie lautet denn die wörtliche Aufgabenstellung?

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