Reihen nach oben oder unten abschätzen

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ViviAn31 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen nach oben oder unten abschätzen
Meine Frage:
Wie erkenne ich, ob ich eine Reihe nach oben oder unten abschätzen muss ?

Meine Ideen:
Bisher bin ich so vorgegangen :
Ich habe mir überlegt ob die Reihe monoton steigt oder fällt. In der Vorlesung habe ich gelernt, dass man das macht, indem ich in den oberen Index n+1 einsetze und dann diese Reihe mit den neuen Index von der normalen Reihe abziehen. Dann ziehe ich den neuen Index heraus, indem ich ihn in die Reihe einsetze und ziehe die zwei verbleibenden Reihen (beide gehen ja bis unendlich) voneinander ab. Es bleibt also nur das Reihenglied mit dem Index eingesetzt. Dann muss ich mir überlegen ob das größer/kleiner gleich 0 ist, um die Monotonie zu kennen. Wenn es größer gleich 0 ist, muss ich dann zB. nach oben abschätzen.
So hab ich in der Vorlesung gelernt und mache das auch, aber wenn ich mir die Lösungen im Tutorium anschaue kommt man dann doch auf das Ergebnis, dass man nach unten abschätzen muss. Kurz gesagt : Ich liege damit oft nicht richtig, obwohl ich es so gelernt habe. Ich bin um jede Hilfe dankbar
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass du öfter mal, wenn du von "Reihe" sprichst, eigentlich "Summe" meinst? Für mich ist das, was du unter "Meine Ideen" da geschrieben hast, ziemlich wirr abgefasst. Vielleicht kannst du das etwas mit Formeln untersetzen, was du da so unheimlich verschlungen und gewunden formuliert hast. verwirrt
vlb Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich rede von Reihen und meine das : https://ibb.co/K6jNJ47
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
schau doch mal die Begriffe an, bevor du sie verwendest
Da stehen doch Summen (KEINE Reihe) dort, die du voneinander subtrahierst! Was soll dann dieses Abstreiten mit dem "Nein"... Finger1


Zur Sache: Die Partialsummen einer Reihe sind offenbar genau dann monoton wachsend, wenn für alle gilt. Sie sind sogar streng monoton wachsend, wenn entsprechend da sogar gilt. Da gibt es an sich nichts groß zu beweisen, ist per Definition der Partialsumme offensichtlich.

Zitat:
Original von ViviAn31
Wie erkenne ich, ob ich eine Reihe nach oben oder unten abschätzen muss ?

[...]

aber wenn ich mir die Lösungen im Tutorium anschaue kommt man dann doch auf das Ergebnis, dass man nach unten abschätzen muss.

Ehrlich: Was soll das? Wie sollen wir beantworten, ob nach oben oder unten abgeschätzt werden "muss", wenn wir überhaupt nicht wissen, was mit der Reihe überhaupt angestellt werden soll? Deine Frage ist mangels dieser Information also ziemlich sinnfrei. Sollte es beispielsweise um den Nachweis von Konvergenz oder vielleicht auch den von Divergenz der Reihe gehen, dann sag das!



EDIT: Vielleicht meinst du ja folgendes:

Betrachten wir eine Reihe mit sämtlich positiven Gliedern. Die ist dann streng monoton wachsend (s.o.). Weisen wir nun nach, dass die Partialsummen nach oben beschränkt sind, dann ist die Reihe konvergent.

Können wir hingegen die -te Partialsumme nach unten abschätzen durch eine Funktion , die ihrerseits gegen strebt, dann wissen wir, dass die Reihe bestimmt divergiert gegen . In diesem Fall benötigen wir nicht mal die Monotonie.
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