X0 Methode

26.01.2020, 13:44

Law-op

X0 Methode

Meine Frage:
Also ich soll die Ableitung gleich f(x)=x^3 -x^2 an der Stelle x0 berechnen. Mit Hilfe der x0 Methode?

Meine Ideen:
Also die Lauter ja so: f(x)-f(x0)/x-x0
Wenn ich das einsetzte sieht das dann so aus
X^3-x^2-x0^3-x0^2/x-x0

Ich weiß jetzt nicht weiter

Danke

26.01.2020, 14:42

Helferlein

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Bitte achte auf die richtige Klammersetzung, sonst gilt Punkt vor Strich und das was Du oben geschrieben hast, ist nicht der Differenzenquotient, den Du zur Berechnung benötigst.

Du meinst $\begin{eqnarray*} d(x)=\frac{x^3-x^2-(x_0^3-x_0^2)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Umsortiert ist das dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{x^3-x_0^3+x_0^2-x^2}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Und nun kannst Du im Zähler jeweils $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

26.01.2020, 18:15

Law-op

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Also wenn ich das so mache komme ich auch 2x^2+2x0^2. irgendwas stimmt da wohl nicht

26.01.2020, 18:48

kniver

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Du kannst auch direkt die Polynomdivision (x³-x²-x0³+x0²) : (x-x0) durchführen.

27.01.2020, 18:09

Law-op

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Also es wäre wirklich gut wenn mir jemand was sagen könnte bzw es mir vorrechnet.
Den selbst wenn ich (x-x0)*x^2+x0^2 +(x-x0)*x-x0/x-x0
Weiß ich nicht wie es danach weiter gehen soll. Und bei der Polynomdivison komm ich total durcheinander.

27.01.2020, 18:36

Helferlein

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Die korrekte Zerlegung sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3-x_0^3+x_0^2-x^2}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)-(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Versuche das Bitte nachzuvollziehen.
Kommst Du damit weiter?

27.01.2020, 19:37

kniver

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Zitat:

Und bei der Polynomdivison komm ich total durcheinander.

Das mögen viele Schüler nicht so gerne.
Was du daher auch problemlos ausnutzen kannst, ist, dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ , nennt sich auch "h-Methode".

Bei deiner Funktion führt das mit dem Ansatz zu $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3-(x_0+h)^2-(x_0^3-x_0^2)}{h} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du keine Polynomdivision mehr, du musst nur den Zähler so weit es geht zusammenfassen , h ausklammern und mit dem h im Nenner wegkürzen.
Ganz am Ende dann noch $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ benutzen, wodurch die "h-Terme" dann alle verschwinden.

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