Strecke im Quadrat

26.01.2020, 14:35

Dopap

Strecke im Quadrat

Eine Quadratseite ist Durchmesser eines Kreises..
Eine Tangente, die nicht senkrecht zum Durchmesser steht enthält einen Eckpunkt.

wie lang ist der Schnitt von Tangente und Quadrat?

26.01.2020, 16:49

Leopold

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[attach]50504[/attach]

Der gestreckte Winkel am Kreismittelpunkt zerfällt in zweimal $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ und zweimal $\begin{align*} \beta \end{align*}$ . Also ist $\begin{align*} \alpha + \beta \end{align*}$ ein rechter Winkel. Es ergeben sich die restlichen Winkel der Figur über die Winkelsumme im Dreieck. Alle rechtwinkligen Dreiecke sind somit ähnlich. Am Dreieck mit der roten Strecke erkennt man das Verhältnis 2:1 der Katheten. Somit ist die grüne Strecke $\begin{align*} \frac{1}{2} r \end{align*}$ .

26.01.2020, 18:09

klauss

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Zweiter Vorschlag:
Geg.: $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ = Kreisdurchmesser/Kantenlänge des Quadrats
Ges.: $\begin{eqnarray*} s1+s2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s1=d \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} d^{2}+\left(\frac{d}{2} \right)^{2}=x^{2}=s1^{2}+\left(\frac{d}{2} \right)^{2} \end{eqnarray*}$

Ähnlichkeit ausgenutzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{s2}{\frac{d}{2} } =\frac{\frac{d}{2} }{s1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow s2=\frac{d}{4} \end{eqnarray*}$

27.01.2020, 00:05

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

oder ohne Ähnlichkeiten:

einen Pythagoras im großen Dreieck unten rechts [ bei Leopold oben ]
und 2 mal die Gleichheit von Tangentenabschnitten ausnutzen :

$\begin{eqnarray*} (d-s_s)^2+d^2=(d+s_2)^2 \,\,\Rightarrow s_2 \end{eqnarray*}$

27.01.2020, 02:29

kreiser

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Und damit die Klassiker komplett sind, hier auch noch was mittels Übertragung in ein Koordinatensystem.
Der Kreismittelpunkt M ist der Ursprung.
Die x-Koordinate von P ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke APM und DMC, welche man durch die farblich markierte Winkelübereinstimmung zeigen kann.
Die gesuchte Länge ist also $\begin{eqnarray*} |PC|=\sqrt{(1,5r)^2+(2r)^2}=\sqrt{6,25r^2}=2,5r \end{eqnarray*}$

28.01.2020, 01:25

Dopap

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ja, so geht es auch, eben die volle Vielfalt!

klaus hat die Aufgabe unter Marathon Schule unter rein analytischem Aspekt
nochmals reingestellt.

Angenehm, dass meine manchmal knappe und möglichst redundanzfreie Aufgaben Formulierung diesmal zu keinen Nachfragen führte.

28.01.2020, 11:22

kreiser

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Zitat:

klaus hat die Aufgabe unter Marathon Schule unter rein analytischem Aspekt
nochmals reingestellt.

Für NRW kann ich schon mal sagen, dass das Schüler nicht hinkriegen werden - es sei denn sie betreiben abseits von den Lehrplänen noch eigenständig Mathematik darüber hinaus.

Auch wenn es etwas unromantisch klingt, im Endeffekt sind hier im Forum ja auch immer dieselben Leute aktiv, die Lösungen posten. Und diese Anzahl ist maximal auch eher im mittleren einstelligen Bereich.

Ich finde das Matheboard immer noch mit Abstand am übersichtlichsten aufgebaut und daher am attraktivsten zur Nutzung.

In Zeiten von YouTube-Videos und auch vielen anderen Mathe-Foren, merkt man aber auch einfach, dass die Besucherzahlen recht überschaubar sind.
Einige Helfer kriegen den Tag auch schon lange nicht mehr komplett nur durch das Matheboard gefüllt, weshalb sie Nachschub in anderen Foren suchen (siehe an den zahlreichen Crossposting-Verweisen).

Naja, aber so lange es noch die alteingesessenen User gibt, die weiterhin so viel freie Zeit haben, wird das muntere Knobeln an Aufgaben bestimmt auch noch einige Jahre Bestand haben. Freude

28.01.2020, 15:32

Dopap

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genau!

Und deshalb frage ich hier inzwischen mehr wie ich beantworte. Big Laugh

Aber die Kollegen lassen mich stillschweigend gewähren, es schadet ja auch nicht. Augenzwinkern

28.01.2020, 17:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Aber die Kollegen lassen mich stillschweigend gewähren, es schadet ja auch nicht. Augenzwinkern

Na klar doch. Vor allem dann:

Zitat:

Original von Dopap
Angenehm, dass meine manchmal knappe und möglichst redundanzfreie Aufgaben Formulierung diesmal zu keinen Nachfragen führte.

Ja, ist bestimmt schön, wenn forumbekannte notorische Nörgler mal nichts auszusetzen haben. Big Laugh

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