Beweise zur Skalierbarkeit von Funktionen

26.01.2020, 21:36

Henrik1997

Beweise zur Skalierbarkeit von Funktionen

Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe haben wir auf unserem neusten Ana I Zettel bekommen. Ich habe nur überhaupt keine Idee, wie ich bei dem Beweis vorgehen soll.
(i) Gegeben sein ein f:R -> ? mit lim y -> 0 f(y)/y= l in R Zeigens sie, dass dann

lim c->0 f(cx)/c= lx für alle x ungleich 0

(ii) Angenommen, in a in R gelte

lim h->0 (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a)

Zeigen Sie dass dann gilt:

lim c -> 0+ (f(a+cx)-f(a))/c = f'(a)x für alle x ungleich 0

(iii) Skizzieren und beschreiben sie für eine Funktion f:R->R Ihrer Wahl geometrisch den Graphen der Funktion

x->(f(a+cx)-f(a))/c für c=2,c=12 und c=14.

Meine Ideen:
Ich verstehe grundlegend, dass wenn man y := cx definiert, dann y->0 wenn c->0. Nur dies beweist eben nicht, dass es äquivalent ist.
Danke für die Antworten im vorraus

27.01.2020, 00:14

Ulrich Ruhnau

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RE: Beweise zur Skalierbarkeit von Funktionen

Zitat:

verbessertes Original von Henrik1997
Meine Frage:
(i) Gegeben sein ein $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{y -> 0} \frac{f(y)}y= l \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Zeigens sie, dass dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{c->0} \frac{f(cx)}c= lx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Na gut! Fangen wir mit $\begin{eqnarray*} \lim_{y -> 0} \frac{f(y)}y= l \end{eqnarray*}$ an! Wir substituieren $\begin{eqnarray*} y=cx \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{c -> 0} \frac{f(cx)}{cx}= l \end{eqnarray*}$ oder mit endlichem $\begin{eqnarray*} x\ne 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{c -> 0} \frac{f(cx)}{c}= lx \end{eqnarray*}$

Die anderen Aufgaben gehen so ähnlich.

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