Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung

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laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Hi!

Ich kann eine Übungsaufgabe nicht nachvollziehen. Die Übung besteht aus einer Aufgabenstellung mit mehreren Teilaufgaben. Bis auf eine Teilaufgabe stimmen meine Ergebnisse mit der (handschriftlichen) Musterlösung überein, diese eine Teilaufgabe kann ich aber nicht nachvollziehen.
Die Aufgabenstellung lautet: Weisen Sie folgenden Ausdrücken die größtmögliche ganzzahlige Konvergenzordnung zu. Tipp: Verwenden Sie Taylorentwicklungen.

1)

Hier habe ich also die allgemeine Formel für die Taylor-Reihe genommen und a=0 gesetzt:



Koeffizientenvergleich liefert p=3. So weit, so gut (hoffe ich).

2) mit und

Hier komme ich nicht weiter, vor allem weiß ich nicht, was ich mit dem f(x+h) anfangen soll oder auch nur die Taylor-Reihe zu f'(x) - einfach v(x)=f'(x) substituieren und dann Tv(x,a)? Laut Musterlösung soll es jedenfalls so aussehen:



Was soll das da? Und f(x+h) verschwindet einfach!? Das bringt mich echt durcheinander, diese Aufgabe könnte ich nicht lösen. Könnt ihr weiterhelfen?

Liebe Grüße
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Zitat:
Original von laienstefan
[QUOTE]Hier komme ich nicht weiter, vor allem weiß ich nicht, was ich mit dem f(x+h) anfangen soll oder auch nur die Taylor-Reihe zu f'(x) - einfach v(x)=f'(x) substituieren und dann Tv(x,a)?

Mit der Taylorreihe kann man nicht argumentieren, da ja nur als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt ist. Aber den Satz/die Formel von Taylor kann man auf eine zweimal stetig differenzierbare Funktion anwenden. Danach ist



mit . Das wurde in die linke Seite der Musterlösung eingesetzt.
 
 
laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von laienstefan
[QUOTE]Hier komme ich nicht weiter, vor allem weiß ich nicht, was ich mit dem f(x+h) anfangen soll oder auch nur die Taylor-Reihe zu f'(x) - einfach v(x)=f'(x) substituieren und dann Tv(x,a)?

Mit der Taylorreihe kann man nicht argumentieren, da ja nur als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt ist. Aber den Satz/die Formel von Taylor kann man auf eine zweimal stetig differenzierbare Funktion anwenden. Danach ist



mit . Das wurde in die linke Seite der Musterlösung eingesetzt.


Zuerst einmal vielen Dank für die Antwort und sorry, dass ich so lange für eine Rückmeldung brauche, hatte in letzter Zeit keine Möglichkeit dazu. Ich habe schon oft die Argumentation gesehen, dass die Taylor-Reihe dann nach dem C-ten Element abgebrochen wird, dann würde es wohl dem Taylorpolynom entsprechen (wenn auch unsauber argumentiert bzw. falschrum, wenn man die Reihe als Grenzwert des Polynoms auffasst).

Dein Ansatz stimmt ja mit der Musterlösung überein. Setze ich stumpf in die allgemeine Taylor-Polynom einfach x+h anstelle von x, ergibt sich imo an der Entwicklungsstelle a Folgendes:



Setze ich x=a, erhalte ich genau die Lösung, abgesehen von dem f''(rho). Bleiben also 2 Fragen - vorausgesetzt, das stimmt soweit:

1) Wieso setze ich x=a? Tut man dies allgemein, um sich nicht auf eine betsimmte Entwicklungsstelle a festzulegen?

2) Wieso schreibt man bei der zweiten Ableitung nicht auch f''(x), sondern f''(rho)?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Zitat:
Original von laienstefan
1) Wieso setze ich x=a? Tut man dies allgemein, um sich nicht auf eine betsimmte Entwicklungsstelle a festzulegen?

Ja.

Zitat:
2) Wieso schreibt man bei der zweiten Ableitung nicht auch f''(x), sondern f''(rho)?


Damit das Taylorpolynom mit der Funktion übereinstimmt, muss da ein nicht näher bestimmter Wert aus dem Intervall stehen. Der Satz über das Taylorpolynom besagt, dass es einen solchen Wert gibt. Er wird im allgemeinen ungleich sein.
laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Zitat:
Original von Huggy

Zitat:
2) Wieso schreibt man bei der zweiten Ableitung nicht auch f''(x), sondern f''(rho)?


Damit das Taylorpolynom mit der Funktion übereinstimmt, muss da ein nicht näher bestimmter Wert aus dem Intervall stehen. Der Satz über das Taylorpolynom besagt, dass es einen solchen Wert gibt. Er wird im allgemeinen ungleich sein.


Aber warum schreibt man dann nicht rho auch bei der ersten und null-ten Ableitung? dort bleibt ja scheinbar x stehen? Muss bei allen Ableitungen ab der zweiten rho stehen?
Habe dazu nichs gefunden...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe zur Bestimmung von Konvergenzordnung
Zitat:
Original von laienstefan
Aber warum schreibt man dann nicht rho auch bei der ersten und null-ten Ableitung? dort bleibt ja scheinbar x stehen? Muss bei allen Ableitungen ab der zweiten rho stehen?
Habe dazu nichs gefunden...

Beim Taylorpolynom 1. Ordnung gibt es keine höheren Ableitungen als die zweite Ableitung. Und diese steht in dem Restglied. Vermenge das nicht mit der Taylorreihe. Beim Taylorpolynom n. Ordnung steht in dem Restglied die (n+1). Ableitung mit als Argument. Bei allen niedrigeren Ableitungen steht als Argument.

Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-For...ilch-Restglieds

und dort das Lagrange-Restglied. heißt in dem Linke .
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