Erwartungswert

26.01.2020, 22:36

rekauhl

Erwartungswert

Meine Frage:
Guten Abend liebe Mitbürger,
das Problem:

Bestimme $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\frac{1}{1+X}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X \sim \text{Poi}(\lambda) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
[attach]50508[/attach]

In einem anderen Forum habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ als Lösung gelesen, wobei ich nicht weiss, warum das richtig sein sollte. Vielen Dank.

26.01.2020, 23:50

Ulrich Ruhnau

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RE: Erwartungswert

Zitat:

Original von rekauhl
In einem anderen Forum habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ als Lösung gelesen, wobei ich nicht weiss, warum das richtig sein sollte. Vielen Dank.

Ich sehe in der Rechnung keinen Fehler. In welchem Forum soll das anders dastehen?

09.02.2020, 08:48

RomanGa

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RE: Erwartungswert
Hallo rekauhl, hallo Ulrich, ich versuche gerade eure Rechnung zu verstehen. Wie kommt man denn auf
$\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{1+X})=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{1+k} e^{-\lambda } \frac{\lambda^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ ?
Ich komme nur auf
$\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{1+X})=E(1-X+X^{2}-+...) \end{eqnarray*}$
Vielen Dank.

09.02.2020, 09:34

HAL 9000

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Die geometrische Reihenformel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+X} = 1-X+X^2-+\ldots \end{eqnarray*}$ zu verwenden macht nur im Konvergenzfall Sinn, d.h., das wäre $\begin{eqnarray*} |X|<1 \end{eqnarray*}$ . Angesichts dessen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hier eine Poisson-verteilte Zufallsgröße ist, d.h., mit Werten in den natürlichen Zahlen, ist das eine völlig verfehlte Idee. unglücklich

Der Ansatz im Eröffnungsposting ist völlig Ok und basiert auf der Erwartungswertdefinition $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{\Omega} g(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$ , was für diskrete verteilte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_k g(k)\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Dabei läuft die Summation über alle Werte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ überhaupt annehmen kann-

Hier nun ist $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ .

09.02.2020, 10:12

RomanGa

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Erwartungswert
Ach so! Alles klaro, herzlichen Dank! Freude

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