Doppelpost! Allgemeine Lösung Differentialgleichung

27.01.2020, 07:58

djansel1

Allgemeine Lösung Differentialgleichung

Meine Frage:
Hi leute ,

ich habe eine kurze Frage zur allgemeinen Lösungen einer DGL.
Ich habe die Wellengleichung mittels Separationsansatz auf zwei DGLs $\begin{eqnarray*} X(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T(t) \end{eqnarray*}$ herunter gebrochen.
Ich habe dazu die Separationskosntante $\alpha[/latex] eingeführ
Jetzt habe ich zuerst $\begin{eqnarray*} X(x) \end{eqnarray*}$ betrachtet. $\begin{eqnarray*} X(x) \end{eqnarray*}$ wollte ich mittels exponentialansatz lösen. Ich bin zum schluss gekommen,dass falls $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ ist,es nur triviale Lösungen gibt.
Das heißt,ich betrachte $\begin{eqnarray*} \alpha<0 \end{eqnarray*}$ und deshalb bekomme ich zwei imaginäre Nullstellen und meine allgemeine Lösung ist:
$\begin{eqnarray*} X(x)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}x\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}x\right) \end{eqnarray*}$ ,dabei definiere ich $\begin{eqnarray*} \alpha=-\beta \end{eqnarray*}$
Ich habe die beiden Randbedingungen $\begin{eqnarray*} y(-\pi,t)=y(\pi,t)=0 \end{eqnarray*}$ für meine Wellengleichung.
Betrachte ich $\begin{eqnarray*} X(\pi)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0 \end{eqnarray*}$ , erhalte ich zwei Fälle für nicht triviale Lösungen von $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ .

1.Fall $\begin{eqnarray*} \sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0 \end{eqnarray*}$

Das ist genau dann,wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{\beta}\pi=k \pi \Leftrightarrow \beta=k^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Darausfolgt $\begin{eqnarray*} c_1=0 \end{eqnarray*}$
2.Fall $\begin{eqnarray*} \cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0 \end{eqnarray*}$
Das ist genau dann,wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{\beta}\pi=\frac{2k+1}{2}\pi \Leftrightarrow \beta=\left(\frac{2k+1}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Darausfolgt $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man jetzt $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{1}{4},1,\frac{9}{4},2,\frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

erhält man die Lösungen

$\begin{eqnarray*} X_1(x)=\cos\left(\frac{1}{2}x\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_2(x)=\sin\left(x\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_3(x)=\cos\left(\frac{3}{2}x\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_4(x)=\sin\left(2x\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_5(x)=\cos\left(\frac{5}{2}x\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösungen von

$\begin{eqnarray*} X(x) =c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)+c_2\sin\left(kx\right) für alle k \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

27.01.2020, 09:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Crossposting
https://www.onlinemathe.de/forum/allgemeine-loesung-dgl-6

Man könnte doch zumindest ein paar Stunden abwarten, ob in einem Forum eine Antwort kommt, statt gleich im Minutentakt in mehreren Foren dieselbe Anfrage zu posten. unglücklich

27.01.2020, 10:22

djansel1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das ist richtig,dass ich das direkt hintereinander gepostet. Ich möchte halt so schnell wie möglichst die Aufgabe lösen und falls dich das stört,tut's mir leid,war nicht meine Absicht irgendwen aufzuregen!
Sorry!

27.01.2020, 13:27

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist unhöflich, mehrere Leute gleichzeitig auf ein Matheproblem anzusetzen, ohne es ihnen wenigstens mitzuteilen. Daher steht auch in unserem Boardprinzip:

Zitat:

Hast Du Deine Frage (zeitnah) auch in anderen Foren gestellt (Crossposting)? Dann solltest Du das jeweils erwähnen. In Einzelfällen behalten wir uns das Recht vor, den Thread aufgrund von Crossposting zu schließen.

Da im anderen Forum nun geantwortet wurde, ist hier jetzt zu.

Viele Grüße
Steffen

Neue Frage »

Antworten »

Doppelpost! Allgemeine Lösung Differentialgleichung

Verwandte Themen