Weierstraß. Approx.Satz Taylor

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PhilipohneAhnung Auf diesen Beitrag antworten »
Weierstraß. Approx.Satz Taylor
Meine Frage:
Das Taylorpolynom vom Grad n liefert die beste Approximation einer Funktion um einen Punkt x0 unter allen Polynomen mit Grad n. Der Satz von Weierstraß sagt übersetzt, dass es Polynome gibt, mit denen eine Funktion auf einem kompakten Intervall beliebig genau approximiert werden können. Nun gibt es Funktionen bei denen das Taylorpolynom innerhalb eines endlichen Konvergenzradius gegen die Funktion konvergiert, außerhalb aber nicht. Wieso widersprechen sich die beiden Sätze also nicht? Man wähle das kompakte Intervall für Weierstraß einfach so, dass Punkte drin liegen, die zur Divergenz bei der Taylorreihe führen.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass die Prämisse, dass die Taylorreihe eine Funktion am besten approximiert falsch ist, sondern, dass sie eine Funktion nur innerhalb eines bestimmten Bereichs um den Entwicklungspunkt approximiert. Dann würde alles wieder hinhauen.
Danke schonmal für Antworten!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Denkfehler
Zitat:
Original von PhilipohneAhnung
Man wähle das kompakte Intervall für Weierstraß einfach so, dass Punkte drin liegen, die zur Divergenz bei der Taylorreihe führen.

Ja und? Dann bekommst du eine Folge von Polynomen mit für alle aus deinem kompakten Intervall (ich rede mal der Einfachheit halber o.B.d.A. von Entwicklungspunkt 0). (*)

Bei den Taylorpolynomen als Partialsummen der Taylorreihe hat man aber , d.h., der Koeffizient der -ten Potenz hängt nicht auch noch vom Polynomindex ab - das ist eine deutlich eingeschränkte Situation gegenüber (*) !!!

Insofern ist (*) i.a. ungeeignet, daraus eine auf diesem gesamten Intervall konvergente Potenzreihe zu basteln, da mit fortschreitendem sich auch die Koeffizienten der niedrigeren Potenzen fortlaufend ändern, d.h., i.a. auch keine Konvergenz stattfindet.


Zitat:
Original von PhilipohneAhnung
Meine Idee ist, dass die Prämisse, dass die Taylorreihe eine Funktion am besten approximiert falsch ist

Im Sinne einer auf dem Gesamtintervall gleichmäßig guten Approximation ist diese "Prämisse" ja auch falsch. Ich wüsste jetzt auch nicht, wer das jemals behauptet hätte. Augenzwinkern
 
 
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