Einzige Untergruppe mit Ordnung k => Normalteiler?

29.01.2020, 14:23	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Einzige Untergruppe mit Ordnung k => Normalteiler? Meine Frage: Hallo, in den Lösungen zu einer Aufgabe steht folgendes: ?G enthält also genau eine Gruppe der Ordnung 125, die folglich Normalteiler ist.? Leider ist mir nicht ganz klar, warum diese Implikation gilt. Meine Ideen: Die Definition eines Normalteiler lautet für einen UG H von G: Für alle g aus G gilt: gHg^(-1) = H. Wieso ist es da wichtig, wieviele UG G hat, die die gleiche Ordnung wie H haben? Vielen Dank schon mal!
29.01.2020, 14:44	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ die einzige Untergruppe der Ordnung 125. Für alle $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g^{-1}Hg \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Untergruppe der Ordnung 125. Da es davon nur eine gibt, muss diese also gleich $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ sein.
29.01.2020, 15:02	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, na klar, das macht Sinn! Vielen Dank für die Hilfe!

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