Einzige Untergruppe mit Ordnung k => Normalteiler?

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Joly Auf diesen Beitrag antworten »
Einzige Untergruppe mit Ordnung k => Normalteiler?
Meine Frage:
Hallo,

in den Lösungen zu einer Aufgabe steht folgendes:

?G enthält also genau eine Gruppe der Ordnung 125, die folglich Normalteiler ist.?

Leider ist mir nicht ganz klar, warum diese Implikation gilt.

Meine Ideen:
Die Definition eines Normalteiler lautet für einen UG H von G:

Für alle g aus G gilt: g*H*g^(-1) = H.

Wieso ist es da wichtig, wieviele UG G hat, die die gleiche Ordnung wie H haben?

Vielen Dank schon mal!
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sei die einzige Untergruppe der Ordnung 125.

Für alle ist ebenfalls eine Untergruppe der Ordnung 125. Da es davon nur eine gibt, muss diese also gleich sein.
Joly Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, na klar, das macht Sinn!

Vielen Dank für die Hilfe!
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