Lineare Unabhängigkeit von Bild und Urbild

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29.01.2020, 19:06	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Bild und Urbild Meine Frage: Ich soll entscheiden und begründen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: Seien T: V->W linear und $\begin{eqnarray} v_{1}, ..., v_{n} \in V \end{eqnarray}$ mit { $\begin{eqnarray} T(v_{1}), ..., T(v_{n}) \end{eqnarray}$ } linear unabhängig. Dann ist die Menge { $\begin{eqnarray} v_{1}, ..., v_{n} \end{eqnarray}$ } auch linear unabhängig Ich verstehe hier die Argumentation der Lösung überhaupt nicht. Die Lösung des Professors lautet: Die Aussage ist falsch. Betrachte den Fall $\begin{eqnarray} T(v_{i}) = w \in W \ {0} \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} v_{1} \neq v_{2} \end{eqnarray}$ dann ist {w} linear unabhängig, aber { $\begin{eqnarray} v_{1}, v_{2}, 0.5(v_{1} + v_{2} \end{eqnarray}$ } linear abhängig. Meine Ideen: Mein Ansatz bei dieser Aufgabe war die Überlegung, dass nach dem Rangsatz die Dimension des Bildes der Abbildung T in W maximal die Dimension von V ist. Das Urbild der T(v) kann nun aus einem oder mehreren Elementen von V bestehen. Meine Idee war, hier irgendwie einen Widerspruch in die eine oder andere Richtung zu erzeugen. Das hat aber nicht geklapt (ich nehme an, ich bin auf dem Holzweg, falls das tatsächlich so geht, bin ich um einen Tipp sehr froh) Jedenfalls habe ich dann beschlossen, die Lösung anzuschauen und diese macht für mich überhaupt keinen Sinn. So wie ich das verstehe, sagt die Lösung: Es gibt ein Problem, wenn mehrere, linear abhängige Vektoren auf den gleichen Vektor abgebildet werden. Das ist mir auch klar, ich verstehe aber nicht, wie ich aus heiterem Himmel annehmen kann, dass es eine solche Abbildung überhaupt gibt. Bzw. könnte mir jemand mit etwas wortreicher als diese Lösung erklären, wie man da drauf kommt?
29.01.2020, 19:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die professorale Idee ist in Ordnung. Wenn die Urbilder alle auf $\begin{eqnarray} w\ne 0 \end{eqnarray}$ abgebildet werden, dann sind die Bilder (genau eines !) linear unabhängig. Über die Urbilder sagt das nichts, die können l.a. oder l.u. sein. Also ist die Aussage falsch, denn sie behauptet, dass die Urbilder immer l.u. sind. Die professorale Durchführung ist allerdings mangelhaft, denn sie beweist nicht das, was sie beweisen möchte. Es geht ja um die Menge der Urbilder und nicht um den von diesen erzeugten UVR. Dieser ist sowieso immer l.a.
29.01.2020, 20:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist einigermaßen heimtückisch formuliert. Lässt man die Mengenklammern weg, ist die Aussage nämlich richtig.
29.01.2020, 21:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht.
29.01.2020, 21:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind $\begin{eqnarray} T(v_1),\ldots , T(v_n) \end{eqnarray}$ l.u, dann folgt aus $\begin{eqnarray} 0=\sum a_i v_i \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} 0=T(\sum a_iv_i)=\sum a_iT(v_i) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} a_i=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ .
29.01.2020, 22:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich. Deswegen hat Baumstamm versucht, mit Dimensionen zu arbeiten. Das Bild kann keine groessere Dimension haben als das Urbild. Wenn T(v1),...,T(vn) l.u. sind, dann auch v1,...,vn. Wirklich hinterhältig.
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30.01.2020, 09:01	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal vielen Dank für eure Antworten. Das Argument von URL leuchtet mir ein: Was ich aber nicht verstehe ist: Was genau ändern Mengenklammern an der Sache, so dass URL's Argumentation nicht mehr funktioniert?
30.01.2020, 09:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente von Mengen sind nicht notwendig verschieden. Wenn die Bilder gleich sind, kann man aus l.u. keine Aussagen über die Urbilder folgern. Wenn die Bilder paarweise verschieden und l.u. sind, dann sind es auch die Urbilder.
30.01.2020, 10:25	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Mengen können das gleiche Element mehrmals enthalten. Das hatte ich vergessen. Trotzdem nochmals eine Frage: Wenn die Bilder nicht paarweise verschieden sind, dann sind diese doch auch nicht mehr linear unabhängig oder? Dann kann ich doch einfach das eine positiv, das andere negativ nehmen und habe einen nichttrivialen Nullvektor.
30.01.2020, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Menge nur ein Element $\begin{eqnarray} T(v_1)=...=T(v_n)=w\ne 0 \end{eqnarray}$ enthält, dann ist diese Menge l.u. Daraus kannst du den Nullvektor $\begin{eqnarray} 0=w-w \end{eqnarray}$ bilden, nur leider ist das wegen $\begin{eqnarray} w-w=1\cdot w+(-1)\cdot w=(1-1)\cdot w=0\cdot w \end{eqnarray}$ die triviale Darstellung.
30.01.2020, 11:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meiner Argumentation habe ich vorausgesetzt, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} T(v_1),\ldots , T(v_n) \end{eqnarray}$ l.u. sind. In der Aufgabe ist aber nur vorausgesetzt, dass die Elemente der Menge $\begin{eqnarray} \{T(v_1),\ldots , T(v_n)\} \end{eqnarray}$ l.u. sind. Wenn $\begin{eqnarray} T(v_1)=\ldots = T(v_n)=w \end{eqnarray}$ ist, dann enthält diese Menge genau ein Element und nur dessen lineare Unabhängigkeit kann man noch verwenden.

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