Optimierung mit Lagrange-Multiplikatoren

Neue Frage »

Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung mit Lagrange-Multiplikatoren
Zur Vorbereitung auf eine bevorstehende Klausur habe ich mir dieses Aufgabenblatt der Oxford-Uni angesehen:

https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/46582

Konkret bin ich gerade an Aufgabe 3 drann, hier soll das maximale Volumen einer Box bestimmt werden unter der Nebenbedingung, dass diese Box einer Ellipse einbeschrieben ist (mit angegebener Gleichung).
Im Folgenden nehme ich an, dass die 3 Seiten der Box sind.
Demnach ist die Lagrange-Funktion:



Anschließend hätte ich nun nach abgeleitet:



Nun kann ich gleichsetzen:



Einsetzen in die Nebenbedingung:



Hmm verwirrt verwirrt
Kann das so stimmen?

Hätte ich oben lieber nach auflösen sollen?

Was mache ich nun mit dem Ergebnis?

Die Aufgabe verwirrt mich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierung mit Lagrange-Multiplikatoren
Zitat:
Original von Der_Apfel
Konkret bin ich gerade an Aufgabe 3 drann, hier soll das maximale Volumen einer Box bestimmt werden unter der Nebenbedingung, dass diese Box einer Ellipse einbeschrieben ist (mit angegebener Gleichung).

Es ist ein Ellipsoid.

Zitat:
Im Folgenden nehme ich an, dass die 3 Seiten der Box sind.

Nein. Das sind doch offensichtlich die Halbachsen des Ellipsoids, in das der Quader einbeschrieben ist. Die Ecken des Quaders liegen auf den Positionen . Seine Seitenlängen sind und sein Volumen daher . Die korrekte Lagrangefunktion unterscheidet sich daher etwas von deiner.
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Tipp!

Hab es nun so gelöst (hoffentlich richtig):





Hab dann die ersten 3 Komponenten des Gradienten nach aufgelöst:



Wenn man und gleich setzt:



Wenn man und gleichsetzt:


Wenn man und gleichsetzt:


Wenn ich nun das Ergebnis wiederum gleich setze:



und



Und dann das in die Nebenbedingung einsetze:


Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt!
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Bei der Aufgabe 4b) soll der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes unter der Bedingung, dass der Umfang = 2s ist, maximiert werden.

Ich hab das Problem so formuliert:



Ableiten:



Wenn ich die ersten beiden Einträge nach auflöse, erhalte ich:



Nach Kreuzmultiplikation:



Da kann ich dann alles auf eine Seite bringen:



und ausklammern:



Also ist eine Lösung. Weiter gehts:



oder machen natürlich in Anbetracht, dass man die Fläche maximieren will, keinen Sinn, also weiter gehts mit in der Nebenbedingung:



Stimmt das so?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung habe ich zwar nicht kontrolliert, aber das Ergebnis ist richtig. Durch Erweitern mit könnte man es noch ein wenig verschönern.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »