Optimierung mit Lagrange Multiplikatoren die 2.

29.01.2020, 21:11

Der_Apfel

Optimierung mit Lagrange Multiplikatoren die 2.

Bezüglich der Aufgabe Nr. 5: https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/46582

(Ich möchte den Abstand vom Ursprung zur Schnittgeraden der Ebenen maximieren statt minimeren)

Die Schnittgerade zwischen den Ebenen hätte ich so bestimmt (da bin ich mir aber nicht ganz sicher):

$\begin{eqnarray*} 2x + y - z -1 = x - y + z - 2 \Leftrightarrow x + 2y - 2z +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Der Abstand vom Ursprung ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{eqnarray*}$ . Um das Ableiten der Wurzel später zu vermeiden, optimiere ich stattdessen den quadratischen Abstand: $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$ .
Demnach ist die Lagrange-Funktion:

$\begin{eqnarray*} L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x + 2y - 2z + 1) \end{eqnarray*}$

Der Gradient ergibt sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \nabla L = \begin{bmatrix} 2x + \lambda\\ 2y + 2\lambda\\ 2z - 2\lambda\\ x + 2y - 2z + 1 \end{bmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Nach Auflösung nach $\begin{eqnarray*} -\lambda \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 2x = y = -z \Rightarrow y = 2x \Rightarrow z = -2x \end{eqnarray*}$

Dann wieder Einsetzen in die Nebenbedingung:
$\begin{eqnarray*} x + 2\cdot2x - 2\cdot(-2x) = -1 \Leftrightarrow x + 4x + 4x = -1 \Leftrightarrow 9x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{9} \Rightarrow y = -\frac{2}{9} \Rightarrow z = \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? verwirrt

29.01.2020, 23:55

Finn_

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Zitat:

(Ich möchte den Abstand vom Ursprung zur Schnittgeraden der Ebenen maximieren statt minimeren)

Warum? In der Aufgabenstellung ist doch der kürzeste Abstand gesucht. Das Supremum des Abstandes ist unendlich.

Zitat:

Die Schnittgerade zwischen den Ebenen hätte ich so bestimmt (da bin ich mir aber nicht ganz sicher):

Das folgt aus dem Gleichungssystem, ja, jedoch ist das nur eine weitere Gleichung, hier speziell wieder eine Ebenengleichung in der die Schnittgerade liegt. Man kann keine Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ durch eine einzige Gleichung beschreiben, nur als Schnittmenge von zwei Ebenen oder als Parameterdarstellung.

Der springende Punkt an dem Verfahren ist aber, dass man solche Paramerterdarstellungen nicht benötigt.

Da du zwei Gleichen vorliegen hast, hast du offenbar nicht nur eine Nebenbedingung, sondern zwei.

Also folgender Ansatz:
Hauptbedingung: wie du beschrieben hast.

Nebenbedingungen:
$\begin{eqnarray*} 0 = g_1(x,y,z) := 2x+y-z-1, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = g_2(x,y,z) := x-y+z-2. \end{eqnarray*}$

30.01.2020, 00:02

Der_Apfel

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Zitat:

Warum? In der Aufgabenstellung ist doch der kürzeste Abstand gesucht. Das Supremum des Abstandes ist unendlich.

Achso, das macht natürlich Sinn. Wobei, wenn ich den Abstand minimieren will, also:

$\begin{eqnarray*} \text{min } \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \Leftrightarrow \text{max} -\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

dabei aber auf den quadrierten Abstand der Einfachheit halber gehe

$\begin{eqnarray*} \text{max } (-\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 \Leftrightarrow \text{max } x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

macht das im Endeffekt keinen Unterschied in der Lagrange-Funktion ob ich maximiere oder minimiere da
$\begin{eqnarray*} (-\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 = (\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^2 \end{eqnarray*}$

oder?

Soweit das bei mir in der Vorlesung behandelt wurde, geht man bei der Lagrange-Funktion immer auf die Suche des Maximums - oder? Wir haben zumindest keinen Nachweis für ein Maximum bzw. Minimum behandelt.

30.01.2020, 00:36

Finn_

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Na das ist aber ein Denkfehler, du musst quadrieren bevor du ins negative spiegelst.

Da ist dann das Maximum von $\begin{eqnarray*} -(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$ unter den Nebenbedingungen gesucht.

Das Verfahren bestimmt einfach die kritischen Punkte. Ob das Maxima oder Minima sind, spielt keine Rolle. Da könnten auch Sattelpunkte bei rauskommen. Eine Möglichkeit zur näheren Analyse wäre die Untersuchung der geränderten Hesse-Matrix, das ist aber ein kompliziertes Ding. Man saugt aus dieser über das Hauptminorenkriterium Informationen über das Vorzeichen der Hauptminoren raus, um ein Kriterium für das ursprüngliche Extremwertproblem zu bekommen.

30.01.2020, 09:10

Der_Apfel

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Ach, natürlich Freude

Wenn das Verfahren nur die kritischen Punkte bestimmt ist es demnach auch egal ob ich minimere oder maximiere - oder?

30.01.2020, 09:55

Finn_

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Ja. Betrachte dazu die notwendige Bedingung für einen Extremwert:
$\begin{eqnarray*} \nabla f + \lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2=0. \end{eqnarray*}$

Nun setzt du $\begin{eqnarray*} \bar f := -f \end{eqnarray*}$ ein und multiplizierst die Gleichung danach auf beiden Seiten mit -1, das ergibt
$\begin{eqnarray*} \nabla\tilde f -\lambda_1\nabla g_1-\lambda_2\nabla g_2=0. \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \bar\lambda_1 := -\lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar\lambda_2 := -\lambda_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \nabla\bar f + \bar\lambda_1\nabla g_1+\bar\lambda_2\nabla g_2=0 \end{eqnarray*}$ ,
das ist das gleiche Kriterium, denn für $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist nur gefordert, dass es irgendwelche reellen Zahlen sind.

30.01.2020, 17:40

Der_Apfel

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Vielen Dank dir für die tolle Erklärung Freude

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