Paarung und orthogonale Projektion

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Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
Paarung und orthogonale Projektion
Guten Abend. Ich habe mich gestern mit der kovarianten Ableitung für Vektorfelder auf Untermannigfaltigkeiten des Koordinatenraums beschäftigt, und diese enthält ja eine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum. Für eine Beziehung zwischen Christoffelsymbolen bin ich da auf die folgende Gesetzmäßigkeit gestoßen.

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt, sei ein Untervektorraum von . Sei die orthogonale Projektion auf . Sei und . Ich würde nun gerne wissen, ob ist.

Meine Argumentation

Zerlege in , wobei und . Nun gilt und daher . Es gilt aber auch
.
Demnach genügt es zu zeigen dass ist.

Da das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, ist mit ein Isomorphismus. Sei und .

Man hat nun , und daher

denn wegen ist und somit .

Ist das so richtig, oder ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen? Würde das auch gehen, wenn anstelle eines Skalarproduktes nur eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform benutzt wird?
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RE: Paarung und orthogonale Projektion
Ist vermutlich eine blöde Frage, aber wie ist denn definiert, wenn eine Linearform auf ist? Das geht doch nur, wenn
Dann stellt sich auch die Frage, wie definiert sein soll
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei genau diesem Punkt hab ich mich auch gefragt, ob da alles koscher ist.

Es ist so, dass aus der Kotangentialbasis aufgebaut ist, also aus der Dualbasis einer Basis von . Aber diese Basis liegt ja in , d.h. ist ursprünglich eine linear unabhängige Mengen von Vektoren aus . Dieser Überlegung nach sollte sein.

(Der Kontext ist: eine glatte Untermannigfaltigkeit, .)
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Zitat:
Original von Finn_
Dieser Überlegung nach sollte sein.

Warum sollte es das sein? Die Linearform ist durch ihr Verhalten auf der Basis von definiert. Mehr kennt sie nicht, weil die Dualbasis nichts anderes kennt. Die Basis von U kann man zu einer Basis von V ergänzen und dann entsprechend zu einer Linearform auf V fortsetzen.
Aber diese Fortsetzung ist natürlich alles andere als eindeutig.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt ist aus dem ambienten Raum induziert. Dieses induziert den kanonischen Isomorphismus mit . Betrachte nun die Einschränkung von auf .

Nun ist , wobei beliebig ist. Bzw. man will ja haben, dass

für alle und gilt, speziell für .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hat der folgende Gedankengang nun weniger Unklarheiten?

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Untervektorraum von . Sei eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform. Sei die orthogonale Projektion bezüglich . Sei . Sei .

Dann gilt: für alle .

Die orthogonale Projektion ist wie folgt definiert. Sei das orthogonale Komplement von definiert als

Weil nicht ausgeartet ist, gilt . Demnach gibt es zu jedem genau ein und , so dass . Man definiert . Das macht zu einer linearen Abbildung.
 
 
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Zitat:
Original von Finn_
Weil nicht ausgeartet ist, gilt .

Das muss nicht gelten. Gibt es z.B. ein mit und ist , dann gilt sogar
Ich sehe gerade nicht, wie man ohne Definitheit von B auskommen kann.
Edit: Wenn man es allerdings mit einem euklidischen VR V zu tun hat, geht die Sache gut. ist zunächst eine Linearform auf und U ist euklidisch. Also gibt es mit , in deiner Nomenklatur ist also , und jetzt kann man auf natürliche Weise zu einer Linearform auf V fortsetzen und dann ist auch
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann ist aber die Einschränkung von auf ausgeartet. Man muss wohl zusätzlich fordern, dass auch auf nicht ausgeartet ist.

Zu zeigen ist zunächst .

Sei . Nicht augeartet bedeutet definitionsgemäß, ist injektiv, was äquivalent zu ist. Man bekommt damit nun:







Nun benötigt man nur noch bzw. . Da muss man für jedes so eine Zerlegung mit und konstruieren. Die möchte man natürlich mit der Projektion herbeischaffen. Jetzt ist die Überlegung, wenn es diese Projektion überhaupt gibt, dann müsste die doch hoffentlich über definierbar sein, denn in sind doch alle diese Umstände begründet.

Die Projektion ist eine lineare Abbildung, bestimmt durch die Forderungen
,

Aufrund der Bilinearität genügt es, das für eine Basis von zu prüfen. Sei also .
Dann gilt

Das ist ein LGS mit der System-Matrix Nun ist , weil Darstellungsmatrix von ist, und ja ein Isomorphismus sein muss, weil auf nicht ausgeartet ist.
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Für eine nicht ausgeartete Bilinearform ist . Zusammen mit ist dann
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