Trigonometrische Funktion umstellen

31.01.2020, 01:52

LEGO 73

Trigonometrische Funktion umstellen

Meine Frage:
Aufgabe:
Die beiden Funktionen h(x) = 2 cos(x) und g(x) = sin(x) werden addiert und geben die Funktion f(x) = a*sin (x + ?). Berechnen Sie die Werte für a und ?.

Meine Ideen:
Leider weiß ich nicht wirklich wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Den Wert für a erhalte ich ja schnell durch gleichungsumstellubg, allerdings hab ich keine Ahnung wie ich an den ? Wert kommen kann. Ich wäre sehr dankbar für einen Lösungsweg.
Danke smile

31.01.2020, 08:25

Ulrich Ruhnau

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RE: Funktion umstellen trigonometrie
Es gibt da die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Sie steht auch in jeder mathematischen Formelsammlung zusammen mit der Formel:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

31.01.2020, 14:27

klauss

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RE: Funktion umstellen trigonometrie
Auf jeden Fall helfen die Eulerschen Beziehungen nach einigen Umformungen.
Warnung: Es kommt nichts ''glattes'' raus.

P.S.:
Es wäre schon interessant, zu erfahren, welchen Wert von a Du glaubst vorab gefunden zu haben.

31.01.2020, 23:19

gamer20

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Ich würde mir das Ganze erstmal mit einer Skizze anschaulich machen.
Und danach tut es eigentlich auch nur ein bisschen Kurvendiskussion (lok. HP von k(x)=sin(x)+2cos(x) z.B. in [0,1] )

Danach musst du wegen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot sin(x+b) \end{eqnarray*}$ nur noch mit dem obigen HP deuten, um welchen Faktor a man die Sinuskurve strecken und wie viele Einheiten man sie nach links verschieben muss, um den Graphen zu k(x) zu erhalten.

01.02.2020, 08:44

Ulrich Ruhnau

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RE: Trigonometrische Funktion umstellen

Zitat:

verbessertes Original von LEGO 73
Die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} h(x) = 2 \cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ werden addiert und geben die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = a\sin (x + \beta) \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

Ans Werk:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cos(x)+\sin(x)=a\left(\frac 2a\cos(x)+\frac 1a\sin(x)\right)=a(\sin(x)\cos(\beta)+\cos(x)\sin(\beta)) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \sin(\beta)=\frac 2a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\beta)=\frac 1a \end{eqnarray*}$ .

Nun muß gelten $\begin{eqnarray*} \sin^2(\beta)+cos^2(\beta)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tan(\beta)=\frac {\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \end{eqnarray*}$ .

Auf diesem Wege weitermachen!

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