Energieerhaltung in zwei Formen

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31.01.2020, 15:00	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Energieerhaltung in zwei Formen Guten Tag, Ich habe eine Frage zur Gleichung der Energieerhaltung. In zwei Büchern stehen natürlich unterschiedliche Darstellungen dieser Gleichung, obwohl diese dass gleiche Aussagen sollen. Buch 1: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho h)+\vec{\nabla}\cdot \left[\rho \vec{u}h-\tau \cdot \vec{u}-\lambda\cdot \vec{\nabla}T\right]=\rho\cdot \vec{g} \cdot \vec{u} \end{eqnarray}$ Buch 2: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}(\rho h) + \nabla \cdot (\rho \underline{u}h)=\nabla \cdot (\lambda\cdot \vec{\nabla}T) + \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot ( \underline{\underline{\tau}} \cdot \underline{u}) \end{eqnarray}$ Buch 2 umformung: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}(\rho h) + \nabla \cdot \left[ \rho \underline{u}h - \underline{\underline{\tau}}\cdot \underline{u}-\lambda\cdot \vec{\nabla}T \right]= \frac{\partial p}{\partial t} \end{eqnarray}$ 1. Ist $\begin{eqnarray} \rho \cdot \vec{g} \cdot \vec{u}= \frac{\partial p}{\partial t} \end{eqnarray}$ das gleiche ? 2. Wenn man den Druck nach der Zeit ableitet, ist das die Änderung über die Zeit in einem Punkt ? 3. Wenn man die Einheiten von $\begin{eqnarray} \rho \cdot \vec{g} \cdot \vec{u} \end{eqnarray}$ dazu schreibt, $\begin{eqnarray} \frac{kg}{m³} \cdot \frac{m}{s²} \cdot \frac{m}{s} =\frac{kg\cdot m²}{m³\cdot s³} = \frac{N \cdot m}{m³ \cdot s}= \frac{N}{m² \cdot s} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig ? Gruß Kai
31.01.2020, 16:00	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofür steht denn g? Für die Gravitationsbeschleunigung? Dann können die zwei Gleichungen aber nicht identisch sein. In der zweiten kommt doch gar keine Gravitation vor....
31.01.2020, 16:08	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau.
31.01.2020, 16:16	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Kontextwissen ist das schwierig zu beantworten. Das sieht aus wie eine vektorielle Form des pascalschen Gesetzes (bzw. der Bernoulli-Gleichung ohne den dynamischen Term). Ich nehme mal an, $\begin{eqnarray} \vec g \end{eqnarray}$ ist die Fallbeschleunigung, die geht ja senkrecht nach unten, da kann man die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ nun zerlegen in $\begin{eqnarray} \vec u=\vec u_x+\vec u_y+\vec u_z \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec g\cdot(\vec u_x+\vec u_y) = 0, \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \vec g \end{eqnarray}$ da senkrecht drauf steht. Also ist $\begin{eqnarray} \vec g\cdot \vec u = \vec g\cdot\vec u_z = gu_z. \end{eqnarray}$ Dem pascalschen Gesetz nach gilt für den statischen Druck $\begin{eqnarray} p = \rho gh+p_0. \end{eqnarray}$ Setzt man nun $\begin{eqnarray} h=u_z t \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} p(t) = \rho gu_z t+p_0 \end{eqnarray}$ , instantan an jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Ableiten auf beiden Seiten bringt $\begin{eqnarray} \frac{\partial p}{\partial t} = \rho g u_z. \end{eqnarray}$
31.01.2020, 16:23	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern $\begin{eqnarray} u_z \end{eqnarray}$ konstant ist.
31.01.2020, 16:32	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Finn_, darauf wäre ich nie gekommen. Ich denke es ist konstant. Gruß und ein schönes Wochenende Kai
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31.01.2020, 16:34	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Finn: Ja, das wäre dann aber die Materialableitung, also die Änderung des Drucks entlang der Bahn eines Teilchens. Hier steht aber die partielle Ableitung des Druckfeldes p(r,t). Damit ist doch in der Regel die zeitliche Änderung an einem festen Ort gemeint. @ Kai: Kannst du nochmal checken, ob da wirklich die partielle Ableitung steht?
31.01.2020, 16:40	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nils, klar, hier sind zwei Screenshots. Gruß und schönes Wochenende Kai
31.01.2020, 16:47	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm.... tatsächlich. Vielleicht ist das ein Druckfehler? Wie gesagt: $\begin{eqnarray} \rho \cdot \vec{g} \cdot \vec{u}= \frac{\partial p}{\partial t} \end{eqnarray}$ kann so wie es da steht nicht stimmen. Stell dir einen Behälter mit einer ruhenden Flüssigkeit vor, bei dem kontinuierlich mit einem Kolben der Druck erhöht wird. Dann ist die linke Seite Null und die rechte Seite ungleich Null. Just my 2 Cents... Schönes WE
31.01.2020, 17:03	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt auch wieder. Mh keine Ahnung könnte auch ein Druckfehler sein.
06.02.2020, 07:02	Kai_himself	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nils, ich habe nochmal eine blöde Frage, was soll r bei der partiellen Ableitung von Druckfeld sein p(r,t) ? GRuß Kai
06.02.2020, 08:26	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Na der Ort: r = (x,y,z). Viele Grüße Nils

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