Schnittgerade Ebene (LGS)

31.01.2020, 20:15

robbs

Schnittgerade Ebene (LGS)

Hi,

ich hänge gerade an folgender Aufgabe und benötige einen leichten Denkanstoß...

Ich möchte zu einer Ebene die Schnittgerade zur x-y-Ebene bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -6\\ -3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...das übliche Prozedere:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -6\\ -3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ Y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber jetzt hänge ich am LGS

X = 1 + r + 2s
Y = 5 - 6r - 2s
0 = 3 - 3r - 2s

wie gehe ich mit dem X/Y um ? In fast allen Beispielen im Netz hat irgendein Richtungsverktor eine Null, sodass eine Variable des Richtungsvektor wegfällt. Hier habe ich den Fall jetzt nicht.

Vielen Dank und Grüße,
Robert

31.01.2020, 20:23

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Du brauchst das Gleichungssystem nicht. Aus der 3. Komponente/Gleichung ergibt sich eine Abhängigkeit zwischen r und s. Löse nach einem von beiden auf und ersetze diesen entsprechend in der Ebenengleichung.

31.01.2020, 20:40

robbs

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Hallo Klauss, danke für die schnelle Rückmeldung:
stehe noch auf dem Schlauch:

also z.B.

s = 1,5 - 1,5r

..eingesetzt in die erste u. zweite Gleichung (inkl. Zusammenfassung)

x = 4 - 2r
y = 2 - 3r

die beiden Gleichungen zusammengeführt und r eliminiert.

-> 3x + 2y = 16

Passt das etwa ?

Grüße

31.01.2020, 20:52

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Nein! Setze (1,5 - 1,5r) für s in der Ebenengleichung ein!
Vergiß die beiden anderen Gleichungen.

31.01.2020, 20:58

robbs

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
sorry verstehe ich nicht.

E: 6x - 4y + 10z = 16

...soll die anstelle von "z" eingesetzt werden ?

31.01.2020, 21:03

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -6\\ -3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist Deine Ebenengleichung mit r und s!

31.01.2020, 21:12

robbs

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
ah ok, hatte ich fälschlicherweise als Parametergleichung gespeichert gehabt...daher das Missverständnis. Aber trotz dessen komme ich immer noch nicht weiter. Wenn für s = 1,5 - 1,5r eingesetzt wird, komme ich wieder an die Stelle
4 - 2r = x /*3
2 - 3r = y /*2

3x = 12 - 6r
2y = 4 - 6r

3x-2y = 8

31.01.2020, 21:21

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Ich sags nochmal ganz deutlich:

Streiche die Gleichungen mit x und y auf Deinem Blatt durch - so, dass Du sie nicht mehr lesen kannst! Sie werden nicht benötigt!

Dann nimmst Du die Ebenengleichung aus meinem letzten Beitrag und setzt dort (1,5 - 1,5r) für s ein.

31.01.2020, 21:31

robbs

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
ich denke, dass ich das mit dem Einsetzen schon verstanden habe .... nur verstehe ich nicht, wo jetzt die Schnittgerade herkommen soll...
es fehlt ja immer noch das r, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -6\\ -3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3-3r \\ -3+3r \\ -3+3r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Danke für deine Geduld und Grüße

31.01.2020, 21:46

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Es fehlt kein r. r ist der eine Parameter, der in eine Geradengleichung gehört und jetzt wunschgemäß übriggeblieben ist.

Den 3. Vektor kannst Du nun zerlegen in einen konstanten Anteil und einen r-Anteil.
Den konstanten Anteil kannst Du mit dem Aufpunkt-Vektor zusammenfassen und den r-Anteil mit dem bereits vorhandenen r-Richtungsvektor.

Und denke daran, dass die ordentliche Schreibweise einer Gleichung ein Gleichheitszeichen erfordert:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= ... \end{eqnarray*}$

31.01.2020, 21:50

robbs

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
*Edit*...Ach ich Spaten LOL Hammer

Bin grad auch drauf gekommen.. wie kann man so schwer von Begriff sein...sorry

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -2 \\ -3\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kurze Frage noch: Kann ich diese Technik bei Schnittstellen mit x-y, x-z, z-y-Ebenen immer verwenden ? In den meisten andere Forenbeiträgen wird mit LGS gearbeitet.

Danke nochmal für deine Geduld.

Grüße und schönen Abend

31.01.2020, 22:18

klauss

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RE: Schnittgerade Ebene (LGS)
Halleluja! Freude

Ja, wenn die Gerade in einer Koordinatenachsenebene liegt, ist die jeweils dritte Komponente der Geraden immer 0.

31.01.2020, 23:56

anageo

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Zitat:

Ja, wenn die Gerade in einer Koordinatenachsenebene liegt, ist die jeweils dritte Komponente der Geraden immer 0.

Den Gedanken aufgreifend, könnte man alternativ auch auf die Idee kommen einfach 2 Punkte der gegebenen Ebene mit z=0 zu berechnen (naheliegend wäre z.B. die Wahl r=1 und s=0 oder r=0 und s=1,5).
Aus diesen beiden Punkten könnte man dann ebenso eine Parametergleichung für die Schnittgerade bestimmen.

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