Nullstellen von Zähler in Nenner einsetzen und einen Trick anwenden - wie heißt dieser Trick ?

01.02.2020, 03:02

Amplitude

Nullstellen von Zähler in Nenner einsetzen und einen Trick anwenden - wie heißt dieser Trick ?

Wenn wir die Teilerfremdheit einer gebrochenrationalen Funktion f(s) untersuchen wollen gehen wir nach unserem Prof. wie folgt vor:

Wir bestimmen die Nullstellen des Zählers und setzen diese nacheinander in die Nennerfunktion ein. Wenn dies ungleich Null ist sind der Zähler und Nenner Teilerfremd.

Nun nutzen wir nach dem Tutorium folgendes Prinzip bei sehr langen Funktionen

z.B.

f(s)=((a(s)*b(s)*c(s))/(n1*a(s)*b(s)+b(s)*c(s)*n2+c(s)*a(s)*n3), wobei ni mit i=1,2,3 Konstanten sind

Jetzt wie folgt vorgehen:

1) Über den Satz des Nullproduktes bestimmt man die Nulltellen von dem Zähler getrennt, also a(s)=0, b(s)=0 und c(s)=0. Dann hat man alle Nullstellen von f(s).

2) Jetzt betrachte ich getrennt folgende drei Fälle, wobei mich interessiert wieso man das hier machen darf:

f1(s)=a(s)/(n2*b(s)*c(s))
f2(s)=b(s)/(c(s)*a(s)*n3)
f3(s)=c(s)/(n1*a(s)*b(s))

Sozusagen lassen wir für jede getrennte Polynomfunktion im Zähler die ebenfalls im Nenner vorhanden ist, den jeweiligen betroffenen kompletten Nennerterm gegen Null laufen.

3) Man schaut jetzt sozusagen nur noch ob die drei Funktionen f1,f2,f3 jeweils unabhängig voneinander Teilerfremd sind.

Wieso kann man das machen und wieso funktioniert das? Ich vermute Mal das läuft über das Ausklammern hinaus, da sich da was rauskürzt oder so ...

01.02.2020, 07:59

Ulrich Ruhnau

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RE: Nullstellen von Zähler in Nenner einsetzen und einen Trick anwenden - wie heißt dieser Trick ?

Zitat:

verbessertes Original von Amplitude
Wenn wir die Teilerfremdheit einer gebrochenrationalen Funktion f(s) untersuchen wollen gehen wir nach unserem Prof. wie folgt vor:

Wir bestimmen die Nullstellen des Zählers und setzen diese nacheinander in die Nennerfunktion ein. Wenn dies ungleich Null ist sind der Zähler und Nenner Teilerfremd.

Nun nutzen wir nach dem Tutorium folgendes Prinzip bei sehr langen Funktionen
z.B.

$\begin{eqnarray*} f(s)=\frac{a(s)b(s)c(s)}{n_1a(s)b(s)+b(s)c(s)n_2+c(s)a(s)n_3} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ Konstanten sind

Jetzt wie folgt vorgehen:

1) Über den Satz des Nullproduktes bestimmt man die Nulltellen von dem Zähler getrennt, also $\begin{eqnarray*} a(s)=0,\; b(s)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c(s)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann hat man alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(s) \end{eqnarray*}$ .

2) Jetzt betrachte ich getrennt folgende drei Fälle, wobei mich interessiert wieso man das hier machen darf:

$\begin{eqnarray*} f_1(s)=\frac{a(s)}{n_2b(s)c(s)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(s)=\frac{b(s)}{c(s)a(s)n_3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(s)=\frac{c(s)}{n_1a(s)b(s)} \end{eqnarray*}$

Sozusagen lassen wir für jede getrennte Polynomfunktion im Zähler die ebenfalls im Nenner vorhanden ist, den jeweiligen betroffenen kompletten Nennerterm gegen Null laufen.

3) Man schaut jetzt sozusagen nur noch, ob die drei Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ jeweils unabhängig voneinander Teilerfremd sind.

Wieso kann man das machen und wieso funktioniert das? Ich vermute mal, das läuft über das Ausklammern hinaus, da sich da was rauskürzt oder so ...

Ich was so freundlich, Deine Formeln in Latex einzukleiden, damit man sie lesen kann. Das vergrößert die Zahl der potentiellen Helfer. Benutze nächstes Mal den Formeleditor und die Taste "f(x)"!

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