Anzahl der Nullstellen

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Cigogne Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Nullstellen
Meine Frage:
Hallo. Eine kurze Frage:

Über K = Q, R, C hat ein Polynom aus K[x] vom Grad n höchstens bzw. genau n Nullstellen (wenn ich die ggf. mehrfachen als einzelne Nullstellen zähle).

Meine Ideen:
Wie sieht es aus, wenn die Charakteristik des Körpers p?0 ist? Z.B. hat X?-1 die p-fache Nullstelle 1. Hat es noch mehr Nullstellen?


Danke schonmal! smile
Cigogne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Nullstellen
Ohje, es wurden zwei Symbole durch Fragezeichen ersetzt:

und
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß ein Polynom höchstens so viele Nullstellen, die Vielfachheit mitgezählt, besitzt, wie der Grad angibt, gilt für jeden Körper. Entscheidend dafür ist die Möglichkeit der Division und das Kommutativgesetz der Multiplikation. Im Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen zum Beispiel kann man zwar noch dividieren, die Multiplikation ist aber nicht mehr kommutativ. Und schon bricht dieser Satz zusammen. In hat das quadratische Polynom alle rein-imaginären Quaternionen mit als Nullstellen.
Cigogne Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe.

Mutet mir seltsam an, dass bei Charakteristik nur p-mal die 1 als Nullstelle hat, während z.B. in die n-ten Einheitswurzeln die Nullstellen sind.
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