Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen

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PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Hallo liebes Matheboard,

Ich soll folgendes zeigen:

Sei und es sei eine stetige Funktion, für die gilt:

Nun soll ich beweisen, dass wenigstens zwei Nullstellen in hat.

Mein erste Frage dazu war, wie die Nullstellen im Zusammenhang mit dem Integral stehen. Ich habe mir überlegt, da dass Integral = 0 ist, dass dies bedeutet die Funktion muss sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen damit sich das Integral 0 ergibt (und die Flächen oberhalb müssen = Flächen unterhalb sein). Dies wäre aber natürlich auch mit nur einer Nullstelle möglich.

Meine Frage ist nun, wie man den hier am besten anfängt. Ich bin immer noch etwas planlos. Wir haben z.B. den Mittelwertsatz eingeführt. Für das linke Integral könnte man ja dadurch als Sonderfall schreiben: oder? Wobei eben ein Wert innerhalb des Intervalls ist. Und da dies gleich 0 ergeben muss, und b > a, folgt dann daraus das gleich null ist.

Denke ich hier komplett falsch oder ist der Mittelwertsatz vielleicht ein kleiner Schritt in die richtige Richtung?

Mfg,
P
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Der Anfang ist super. Du brauchst nur noch eine weitere Nullstelle. Man wird das vermutlich über partielle Integration direkt beweisen können, aber ich denke ein Widerspruchbeweis ist hier anschaulicher:

Angenommen es gibt nur eine Nullstelle, ich nenne diese lieber mit .
Anschaulich bedeuten deine zwei Ausgangsgleichugen: Die Fläche unter von und von sind gleich gross. Wenn wir durch mit ersetzen stimmt das natürlich immer noch. Wenn wir durch ersetzen, gewichten wir beide Flächen nicht mehr gleich, sondern die erste Fläche bekommt einen kleineren Faktor als die Rechte. Nun sagt aber , dass wir die beiden Flächen unter von und noch immer gleich sind.

Zum formalen Beweis: Mit der per Annahme eindeutigen Nullstelle impliziert der Mittelwertsatz, dass auf und auf das gleiche Vorzeichen haben. Insb.
.

Das kann man nun mit und die Analoge Ungleichung auf zum Widerspruch führen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Zitat:
Original von IfindU
Zum formalen Beweis: Mit der per Annahme eindeutigen Nullstelle impliziert der Mittelwertsatz, dass auf und auf das gleiche Vorzeichen haben. Insb.
.

Das kann man nun mit und der analogen Ungleichung auf zum Widerspruch führen.

Mit ergibt sich dann immer noch



Wie macht man dann weiter?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Mit der analogen Ungleichung meinte ich
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Zitat:
Original von IfindU
Mit der analogen Ungleichung meinte ich

Ok, das hilft weiter.

was u.a. bedeutet

, welches ein Widerspruch ist zu . Damit ist die These, es gäbe nur eine

Nullstelle widerlegt. Also muß es mehr als eine Nullstelle geben .
knightflyer Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre eigentlich auch das hier zielführend ?

Der (erweiterte) Mittelwertsatz liefert die Existenz von mindestens einem z aus [a,b] so dass mit f,g:[a,b] --->IR und f stetig

Mit folgt dann doch
und wegen 0<a<b verbleibt , was schon mal eine Nullstelle in liefert.

Zudem erhält man mit g(x)=1 analog und somit noch eine Nullstelle in .
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsstest du noch zeigen, dass die gefundenen Nullstellen nicht gleich sind, was wahrscheinlich nicht leichter ist, als der schon geführte komplette Beweis.
knightflyer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn z1 und z2 Nullstellen von f sind, dann ist f von der Form wobei r(x) irgendeine "Restfunktion" sein soll.
Angenommen z1=z2, dann entstünde mit eine doppelte Nullstelle, was wegen gleichzeitig eine Berührung mit der x-Achse zur Folge hat.
Wenn f nur diese eine Berührnullstelle in [a,b] hat, dann würde nur gelten, wenn f(x) die Nullfunktion wäre, was wiederum der Anzahl der Nullstellen widerspricht.
Also muss f mindestens zwei Nullstellen haben.

Kann man so argumentieren ?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral - Mittelwertsatz (?) und Nullstellen
Zitat:
Original von PeMep
Sei und es sei eine stetige Funktion, für die gilt:

Nun soll ich beweisen, dass wenigstens zwei Nullstellen in hat.

Hallo knightflyer,

Deine Fallunterscheidung, die da lautet ist überflüssig, weil von PeMep festgelegt wurde. Übrigends: Hättest Du ein Konzept, wie man nachweist, daß alle Nullstellen aller Legendre-Polynome reell sind und nicht komplex? Ich will damit sagen: Diejenigen Beweise sind am besten, die ausbaufähig sind.
knightflyer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Deine Fallunterscheidung, die da lautet f(z1)=0 oder b=a ist überflüssig, weil a<b von PeMep festgelegt wurde.


Das ist keine Fallunterscheidung, das sind zunächst mal die Lösungen der Gleichung.
Und in der darauf folgenden Zeile habe ich dann wegen 0<a<b eine davon ausgeschlossen.
Das ist für mich das übliche Vorgehen beim Lösen einer Gleichung.


Mag jemand etwas zu meinem alternativen Lösungsvorschlag bzw. meiner Argumentation dafür, dass z1 und z2 zwei verschiedene Nullstellen sind, schreiben ?
Eine Bestätigung bzw. ein Verbesserungsvorschlag wäre toll. smile
knightflyer Auf diesen Beitrag antworten »

Da hier ja sehr allergisch auf Crosspostings reagiert wird, möchte ich nur kurz Bescheid sagen, dass ich meine Frage nochmal in einem anderen Forum posten werde, weil sich das Interesse hier glaube ich eher in Grenzen hält. Wink
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