R-integrierbare Funktion. Existiert das Integral?

02.02.2020, 01:03

tennis98

R-integrierbare Funktion. Existiert das Integral?

Meine Frage:
Hallo,
Woran kann ich erkennen ob für die R-integrierbare Funktion auf dem Intervall [-pi,pi], das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi} \! f(t)sin(at) \, dt \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert?
Vielen Dank schonmal.

Meine Ideen:
Hat es vielleicht damit was zu tun das f und sin(at) beide stetig sind und dadurch auch das Produkt R-Integrierbar auf dem Kompaktum [-pi,pi].
Oder hängt es damit zusammen das f und sin(at) beide Element von R[-pi,pi] sind, und somit auch das Produkt Element von R[-pi,pi]?

02.02.2020, 08:34

Ulrich Ruhnau

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RE: R-integrierbare Funktion. Existiert das Integral?

Zitat:

Original von tennis98
Meine Frage:
Hallo,
Woran kann ich erkennen ob für die R-integrierbare Funktion auf dem Intervall [-pi,pi], das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi} \! f(t)sin(at) \, dt \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert?
Vielen Dank schonmal.

Unter den gegebenen Voraussetzungen existiert Dein Integral immer. Jedoch ist Dein Integral = 0, wenn $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ eine gerade Funktion ist, d.h. $\begin{eqnarray*} f(t)=f(-t) \end{eqnarray*}$ .

02.02.2020, 10:29

Huggy

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RE: R-integrierbare Funktion. Existiert das Integral?

Zitat:

Original von tennis98
Oder hängt es damit zusammen das f und sin(at) beide Element von R[-pi,pi] sind, und somit auch das Produkt Element von R[-pi,pi]?

Richtig!
Es gibt den Satz, dass das Produkt und der Quotient zweier R-integrierbaren Funktionen R-integrierbar sind. Für den Quotienten muss dabei noch vorausgesetzt werden, dass der Betrag den Nennerfunktion ein positives Infimum hat.

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