Warum Ableitung =0?

02.02.2020, 10:32	Cigogne	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum Ableitung =0? Meine Frage: Guten Morgen, wir hatten den Satz: Gilt char K = 0 oder ist K endlich, dann hat ein K-irreduzibles Polynom aus K[X] keine mehrfachen Nullstellen in L. Meine Ideen: Kurze Zeit später hatten wir aber $\begin{eqnarray} X^p-T?\mathbb F_p (T) \end{eqnarray}$ , das im Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p (\sqrt[p]{T}) \end{eqnarray}$ die Nullstelle $\begin{eqnarray} \sqrt[p]{T} \end{eqnarray}$ hat. $\begin{eqnarray} \mathbb F_p (T) \end{eqnarray}$ ist doch aber endlich, oder? Warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} X^p-T \end{eqnarray}$ das Nullpolynom?
02.02.2020, 13:14	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum Ableitung =0? Hallo, nein, $\begin{eqnarray} \mathbb F_p(T) \end{eqnarray}$ ist nicht endlich: Dieser Körper enthält die paarweise verschiedenen Elemente $\begin{eqnarray} T^j, j \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ ist endlich. Es könnte sein, dass du fälschlicherweise davon ausgehst, die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb F_p(T) \end{eqnarray}$ wären Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \to \mathbb F_p \end{eqnarray}$ , was aber nicht der Fall ist. Das Polynom $\begin{eqnarray} X^p-T \end{eqnarray}$ wird nach $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ abgeleitet, und als Ableitung erhält man somit $\begin{eqnarray} pX^{p-1} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ die Charakteristik $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ hat, ist die Ableitung also gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . (Insbesondere ist Vorsicht geboten: Du schreibst $\begin{eqnarray} X^p-T \in \mathbb F_p(T) \end{eqnarray}$ , in Wirklichkeit gilt aber $\begin{eqnarray} X^p-T \in \mathbb F_p(T)[X] \end{eqnarray}$ !)
03.02.2020, 09:39	Cigogne	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum Ableitung =0? Danke für die ausführliche Antwort! Ich habe nur eine Nachfrage: $\begin{eqnarray} \mathbb F_p(T) \end{eqnarray}$ ist dann nicht $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ adjungiert Monom (Unbekannte) $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , oder?
03.02.2020, 14:41	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, doch, das ist so. $\begin{eqnarray} \mathbb F_p(T) \end{eqnarray}$ besteht aus allen Ausdrücken der Form $\begin{eqnarray} \frac{f}{g} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f,g \in \mathbb F_p[T] \end{eqnarray}$ Polynome mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ sind, und $\begin{eqnarray} g \neq 0 \end{eqnarray}$ .

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