Eigenwerte von Matrizen beweisen

02.02.2020, 13:36

TwoequalsFour

Eigenwerte von Matrizen beweisen

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich studiere Informatik und habe große Probleme mit der Nomenklatur von Beweisen. Die Aufgabe, an der es hakt lautet:
Beweisen Sie:
a) Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ C ein Eigenwert einer regulären Matrix B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^nxn , dann gilt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =/= 0 und die Inverse ist ein Eigenwert von der Inversen Matrix
b) Sind C,D $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^nxn regulär, so sind die Eigenwerte von CD und DC dieselben.
c) Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ C ein Eigenwert von E $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^nxn , dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl (lambda mit Strich oben) ein Eigenwert von E.

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind wie folgt:
a) Ich verstehe, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =/= 0 sein muss, weil die Inverse einer Zahl ja 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wäre und man nicht 1/0 teilen darf. Kann ich jetzt z.B. ein Charakteristisches Polynom einer beliebigen Matrix aufstellen, in der ich 0 als Eigenwert nehme, um dies zu widerlegen? Reicht das schon als Beweis?
b) Hier würde ich über das Assoziativgesetz gehen und versuchen so, die Gleichheit von DC und CD zu beweisen. Auch hier wieder, kann ich einfach die Formel vom Assoziativgesetz hinschreiben, dann einfach ein Beispiel nehmen, ausrechnen und daran zeigen das DC=CD? Oder kann ich sogar noch einfach über die det(DC) gehen? Dann hätte ich ja eigentlich nicht bewiesen, dass die Eigenwerte auch dieselben sind.
c) Mittels z=a+b*i und z^_=a-b*i kann ich ja zeigen, dass z*z^_= |z|² ist. Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als z einsetzen? Ist denn z² überhaupt ein Eigenwert der Matrix? Ich weiß ja, dass es einer ist, aber reicht das schon als Beweis?`

Danke schon einmal im Voraus fürs durchlesen, ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich herübergebracht, was ich meine.

02.02.2020, 14:19

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RE: Eigenwerte von Matrizen beweisen

Zitat:

Original von TwoequalsFour
a) Ich verstehe, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =/= 0 sein muss, weil die Inverse einer Zahl ja 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wäre und man nicht 1/0 teilen darf. Kann ich jetzt z.B. ein Charakteristisches Polynom einer beliebigen Matrix aufstellen, in der ich 0 als Eigenwert nehme, um dies zu widerlegen?

Um was zu widerlegen?

Die Sache ist doch so: Man hat eine Matrix B, von der man nur weiß, dass sie regulär ist, und einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Wenn man das hat, kann man über die Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nachdenken und was $\begin{eqnarray*} \frac 1 \lambda \end{eqnarray*}$ mit Eigenwerten von $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ zu tun hat.
Um $\begin{eqnarray*} \lambda \neq0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, überlegt man sich, was der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ mit Injektivität bzw. dem Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zu tun hat. Das char. Polynom braucht man dafür nicht
Edit: Natürlich kann man auch das char. Polynom von B dafür verwenden. Beides ist lehrreich. smile

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