Lineare Abbildung angeben von R²->R³ mit dim(ker)=2

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Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung angeben von R²->R³ mit dim(ker)=2
Guten Tag,
in einer Aufgabe sollen wir eine lineare Abbildung von R2 -> R3 angeben, bei der der Kern der Abbildung eine Dimension von 2 hat.
Ich weiß was der Kern ist und wie man diesen berechnet, habe aber leider keine Idee wie man eine lineare Abbildung "bastelt", die einen Kern der Dimension 2 hat.
Letztendlich möchten wir eine lineare Abbildung haben, bei der wir zwei Vektoren (bzw. deren Vielfache) reinstecken können und immer 0 herausbekommen -> soviel ist mir klar.
Wenn ich mir jetzt allerdings eine Matrix bastel, dann schaff ich es immer nur einen Kern zu finden.

Über Hilfe bin ich wie immer sehr dankbar, viele Grüße
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist auf dem richtigen Weg und unmittelbar vorm Ziel.
Dir ist sicher bekannr, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig festgelegt ist. Mehr brauchst Du für diese Aufgabe nicht. Nimm eine Basis des R^2 und bilde sie so ab, dass der kern die Dimension zwei hat.
Wieviele Vektoren hat die Basis und welche Bilder haben die einzelnen Basisvektoren?
 
 
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist die Basis (1,0) und (0,1).
Mit diesen beiden Vektoren hatte ich auch schon rumprobiert.
Allerdings konnte ich da keine Matrix finden, die sowohl (1,0) als auch (0,1) auf (0,0,0) abbildet...
Vielleicht hakt es doch noch etwas an meinem Verständnis?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Bild muss der erste Einheitvektor haben? Das ist die erste Spalte der Matrix.
Das Bild des zweiten Einheitsvektors ist die zweite Spalte und schon bist Du fertig.
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde denken, dass das Bild des Einheitsvektors (0,0,0) sein muss.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

"des"Einheitsvektors? Wir haben doch zwei davon. Welchen davon meinst Du?
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

die beiden Einheitsvektoren sind (1,0) und (0,1), richtig?
Beide müssen das Bild (0,0,0) haben?
Ist meine Grundannahmen denn überhaupt richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie oben schon beschrieben:
Zitat:
Original von Helferlein
Welches Bild muss der erste Einheitvektor haben? Das ist die erste Spalte der Matrix.
Das Bild des zweiten Einheitsvektors ist die zweite Spalte und schon bist Du fertig.


Du hast beide Fragen beantwortet, also schreib die zugehörige Matrix hin und Du bist fertig.
Natürlich müssen beide auf den Nullvektor abgebildet werden. Wie soll sonst der kern die Dimension zwei erreichen?
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

also die Determinante der Matrix muss auf jeden Fall 0 sein, das könnte mir vielleicht auch noch weiterhelfen
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

sry,
0 0
0 0
0 0
sollte korrekt sein
Ergydion Auf diesen Beitrag antworten »

Es fällt mir jetzt wie Tomaten von den Augen.
Ich bedanke mich noch einmal für deine freundlichen Antworten, obwohl das sicher nicht leicht war.
Schönen Abend dir noch!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache, dafür sind wir Helfer ja hier.
Diesen Beitrag solltest Du aber schnell vergessen:
Zitat:
Original von Ergydion
also die Determinante der Matrix muss auf jeden Fall 0 sein, das könnte mir vielleicht auch noch weiterhelfen


Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert und solch eine liegt hier nicht vor.

Ein anderer Weg wäre übrigens über die Dimensionsformel möglich gewesen. Daraus folgt direkt, dass das Bild nur den Nullvektor enthalten kann.
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