Sind konstante Polynome irreduzibel?

03.02.2020, 10:15	Cremissimo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind konstante Polynome irreduzibel? Meine Frage: Guten Morgen, mal etwas blöd aber ernst gefragt: Sind konstante Polynome (über einem Ring R mit 1) oder das Nullpolynom R-irreduzibel? Meine Ideen: Ein Element a heißt ?irreduzibel in R?, wenn es weder Einheit noch als Produkt von Nichteinheiten darstellbar ist.
03.02.2020, 10:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einheiten des Polynomrings $\begin{align} R[x] \end{align}$ sind die Einheiten des Rings $\begin{align} R \end{align}$ . Ist also $\begin{align} R=K \end{align}$ ein Körper, so sind alle von 0 verschiedenen Konstanten Einheiten. Im allgemeinen übertragen sich die Zerlegbarkeitseigenschaften vom Ring $\begin{align} R \end{align}$ bei seiner Einbettung in $\begin{align} R[x] \end{align}$ . In $\begin{align} \mathbb{Z}[x] \end{align}$ ist 3 irreduzibel, weil es auch in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ irreduzibel ist, dagegen ist $\begin{align} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \end{align}$ in $\begin{align} \mathbb{Z}[x] \end{align}$ reduzibel, weil es auch in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ reduzibel ist. Und -1 ist eine Einheit in $\begin{align} \mathbb{Z}[x] \end{align}$ , weil es auch eine Einheit in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ ist.
03.02.2020, 10:38	Cremissimo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah okay, vielen Dank. Dann ist also zum Beispiel auch $\begin{eqnarray} 4X+6 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} mathbb Z \end{eqnarray}$ reduzibel, weil ja $\begin{eqnarray} 4X+6=2\cdot (2X+3) \end{eqnarray}$ , oder? In der Galoistheorie spielt das aber keine Rolle, oder? Da betrachtet man ja nur Polynome über einem Körper, so dass alle konstanten Polynome Einheiten sind. Und Einheiten sind weder reduzibel noch irreduzibel, oder?
03.02.2020, 11:11	Cremissimo	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich bitte noch eine 2. Frage hintendran schieben?: Wenn ich eine Körpererkette $\begin{eqnarray} M\supset L\supset K \end{eqnarray}$ habe und $\begin{eqnarray} L[X]\ni f \end{eqnarray}$ L-irreduzibel ist, dann ist es immer auch K-irreduzibel (sofern $\begin{eqnarray} f\in K[X] \end{eqnarray}$ ), aber nicht unbedingt M-irreduzibel, oder? Wenn ich stattdessen $\begin{eqnarray} \mathbb Q\supset \mathbb Z \end{eqnarray}$ habe, dann kann (wie wir oben gesehen haben) auch ein $\begin{eqnarray} \mathbb Q [X]\ni f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -irreduzibel, aber $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ -reduzibel sein, oder?

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