Fallunterscheidungen bei Fourierreihe

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kingkoenig Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidungen bei Fourierreihe
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich komme gerade an einer Stelle nicht weiter und wollte hier um Hilfe bitten.

Es geht bei der Aufgabe darum die komplexe Fourierreihe der folgenden Funktion zu ermitteln:




Meine Ideen:
Mit der Ermittlung des komplexen Fourierkoeffizienten habe ich keine Probleme, sodass ich bis zu folgenden Stelle gekommen bin:




Nun kann ich für unterschiedliche Werte für k eine Fallunterscheidung durchführen, sodass für die eckige Klammer folgendes resultiert:




Dies ist die Stelle an der ich nicht weiterkomme. Ich weiß, dass ich noch weitere Fallunterscheidungen für den Ausdruck durchführen muss, jedoch weiß ich leider nicht wie.


Kann mir jemand sagen, wie die weiteren Fallunterscheidungen durchzuführen sind und wie ich die Fourierreihe dann zum Schluss angeben soll.


Vielen Dank im Voraus !
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RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
Für gerades k ist doch immer und für ungerades k ist .
Da braucht es keine Fallunterscheidung mehr.

Auf der rechten Seite muss wohl etwas wie stehen und da unterscheidet man eben wieder gerade und ungerade n. Das führt dann auf Bedingungen der Art oder ausgeschrieben
kingkoenig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
Hallo URL,

vielen Dank für deine Antwort!

Aber es gibt doch noch Unterscheidungen für gerade k Werte, beispielsweise in dem Ausdruck .
Für k = 2 folgt .

Für k= 4 folgt .

Und genau hier weiß ich nicht, wie ich diese Fallunterscheidung aufschreiben soll.
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RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
Deine erste Unterscheidung führt für k=2n auf den Ausdruck . Jetzt machst du eine zweite Fallunterscheidung oder . Das heißt dann oder . Das deckt auch schon die beiden Fälle ab, die du gerade angesprochen hast.

Die beiden Fälle passen in das von mir genannte Schema für
kingkoenig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
Hallo URL,

danke dir vielmals, ich habe deine Antwort erst jetzt gesehen.

So wie du es erklärt hast ergibt es durchaus Sinn.

Das einzige, was ich nur leider nicht verstehe ist, warum man für k=2n von



ausgehen kann, statt



Den für den letzteren Fall, würde egal, ob n = 2m oder n = 2m-1 das Ergebnis immer null lauten.
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RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
ich dachte, du warst bei deinem Aufschrieb nur schlampig, aber allem Anschein nach gibt's da noch ein Verständnisproblem. Für k=2n hat man
 
 
kingkoenig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)
Hallo URL,

danke dir für den Hinweis!

Du hattest Recht, ich hatte ein Verständnisproblem.

Wenn ich nun die Fallunterscheidung für den Sinus-Term mache, wäre dies dann so richtig ?

Für k = 2n + 1 folgt:



Darus ergibt sich:



bzw.



Für n = 2m folgt:



Für n = 2m +1 folgt:



Somit gilt:

Für k = 4m + 1 ==> -2

Für k = 4m + 3 ==> 0

Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe !
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RE: Fallunterscheidungen für cos(k*?/2) und sin(k*?/2)

Woher kommt das denn? Wo ist denn das j geblieben? Richtig wäre -j-1 für k=4m+1
Ähnlich hier

Richtig wäre j-1 für k=4m+3

Für k=4m ist der Ausdruck 0, für k=4m+2 ist er -2
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