Existenz einer gemeinsamen Verteilung und Gleichung zeigen

03.02.2020, 17:02

Waldemar123456789

Existenz einer gemeinsamen Verteilung und Gleichung zeigen

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem folgenden Satz zu beweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ endliche Menge, $\begin{eqnarray*} A,B\subset U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_a, Z_b \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen mit Werten in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dannr gibt es eine gemeinsame Verteilung für $\begin{eqnarray*} Z_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_b, \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} Z_a \end{eqnarray*}$ uniform mit Support auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_b \end{eqnarray*}$ uniform mit Support auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist. Insbesondere gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} (Z_a=Z_b)=\frac{\vert A\cap B\vert}{\max\lbrace\vert A\vert ,\vert B\vert \rbrace}. \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll. Kann mir jemand helfen?

03.02.2020, 18:47

HAL 9000

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Ist das der Originaltext? Denn der ist einigermaßen verwirrend:

Wenn die Zufallsgrößen vorgegeben sind, dann kann man ihre gemeinsame Verteilung doch nicht wählen! Die ist wie sie ist, und i.a. sind deren Randverteilungen dann NICHT uniform in der beschriebenen Weise. unglücklich

Dann müsste man es schon so formulieren "es gibt Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Z_a,Z_b \end{eqnarray*}$ , so dass für ihre Verteilung gilt ..."

04.02.2020, 12:01

Waldemar123456789

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Der Orginaltext ist folgender:

Let $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ be a finite set, $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ be subsets of $\begin{eqnarray*} U, \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} Z_a,Z_b \end{eqnarray*}$ be random variables, taking values in $\begin{eqnarray*} U. \end{eqnarray*}$ Then there is a joint distribution for $\begin{eqnarray*} Z_a \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} Z_b \end{eqnarray*}$ such that $\begin{eqnarray*} Z_a \end{eqnarray*}$ (respectively $\begin{eqnarray*} Z_b \end{eqnarray*}$ ) is uniform and supported on $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (respectively $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) and, furthermore, $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(Z_a,Z_b)=\frac{\vert A\cap B\vert}{\max\lbrace\vert A\vert,\vert B\vert\rbrace}. \end{eqnarray*}$

04.02.2020, 12:29

HAL 9000

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Ja, hast du sinngemäß richtig übersetzt. Macht aber wie gesagt wenig Sinn, und müsste m.E. heißen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge und $\begin{eqnarray*} A,B\subset U \end{eqnarray*}$ , beide nichtleer. Dann gibt es Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Z_a, Z_b \end{eqnarray*}$ mit Werten in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} Z_a \end{eqnarray*}$ uniform mit Support auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_b \end{eqnarray*}$ uniform mit Support auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verteilt sind, sowie außerdem $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} (Z_a=Z_b)=\frac{\vert A\cap B\vert}{\max\lbrace\vert A\vert ,\vert B\vert \rbrace} \end{eqnarray*}$ gilt.

04.02.2020, 15:41

Waldemar123456789

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Ok, nehme ich so an. Hast du eine Idee, wie ich das beweisen kann? Wie soll ich beginnen?

04.02.2020, 17:24

HAL 9000

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Ich würde konstruktiv rangehen, d.h. $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=j) \end{eqnarray*}$ direkt angeben, und zwar nach den folgenden vier Rechteck-Gitterbereichen getrennt:

1) $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B, j\in A\cap B \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B, j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B, j\in A\cap B \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B, j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$

Wir können dabei von o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} |A|\leq |B| \end{eqnarray*}$ ausgehen (andernfalls tauschen $\begin{eqnarray*} (A,Z_a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B,Z_b) \end{eqnarray*}$ die Rollen).

Was 1) betrifft, so würde ich die Wkt-Werte dort Null wählen außer Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|B|} \end{eqnarray*}$ auf der Hauptdiagonale (d.h. für $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ ), damit wäre dann schon mal die Forderung für $\begin{eqnarray*} P(Z_a=Z_b) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Mit diesem Startpunkt sowie dem Ansinnen, in den Gitterbereich 2),3) und 4) jeweils von den dort konkreten $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ unabhängige Wkt-Werte zu wählen, kann man eine passende Verteilung leicht basteln.

Ein paar mehr Details: Das obige Schema im Lichte dieser Idee etwas ergänzt käme man raus bei

1) $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B, j\in A\cap B \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=i) = \frac{1}{|B|} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=j) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B, j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=j) = u \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B, j\in A\cap B \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=j) = v \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B, j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i,Z_b=j) = w \end{eqnarray*}$

Aus der Forderung $\begin{eqnarray*} P(Z_b=j)=\frac{1}{|B|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in B \end{eqnarray*}$ folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ , wenn man den Teil $\begin{eqnarray*} j\in A\cap B \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Aus der Forderung $\begin{eqnarray*} P(Z_a=i)=\frac{1}{|A|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in A \end{eqnarray*}$ kannst du zunächst $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B \end{eqnarray*}$ ) und dann auch noch $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B \end{eqnarray*}$ ) ermitteln. Schlussendlich erfordert die Probe auch noch die Überprüfung, ob mit diesen Werten dann auch das letzte fehlende Puzzlestück " $\begin{eqnarray*} P(Z_b=j)=\frac{1}{|B|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$ " erfüllt ist. Und tatsächlich, so klappt es. Augenzwinkern

05.02.2020, 15:45

Waldemar123456789

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Hallo HAL 9000, danke. Kannst du mir genauer erklären, warum das folgende gelten muss?

Zitat:

Original von HAL 9000

Aus der Forderung $\begin{eqnarray*} P(Z_b=j)=\frac{1}{|B|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in B \end{eqnarray*}$ folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ , wenn man den Teil $\begin{eqnarray*} j\in A\cap B \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Nun zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} u,w \end{eqnarray*}$ : Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(Z_a=i,Z_b=j)=\mathbb{P}(Z_b=j\vert Z_a=i)\mathbb{P}(Z_a=i)=\frac{\mathbb{P}(Z_b=j\vert Z_a=i)}{\vert A\vert}. \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich nun $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(Z_b=j\vert Z_a=i)? \end{eqnarray*}$

05.02.2020, 17:05

HAL 9000

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Warum willst du dich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten herumschlagen? Es geht hier um Randverteilungen, da genügen einfache Summenbetrachtungen:

Für alle $\begin{eqnarray*} i\in A \end{eqnarray*}$ muss der Gleichverteilungsforderung wegen gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|} \stackrel{!}{=} P(Z_a=i) = \sum_{j\in A\cap B} P(Z_a=i,Z_b=j) + \sum_{j\in B\setminus A} P(Z_a=i,Z_b=j) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} i\in A\cap B \end{eqnarray*}$ bedeutet das gemäß obigem "Plan"

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|} \stackrel{!}{=} \frac{1}{|B|} + |B\setminus A|\cdot u \end{eqnarray*}$ ,

während es für $\begin{eqnarray*} i\in A\setminus B \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|} \stackrel{!}{=} |A\cap B|\cdot v + |B\setminus A|\cdot w = |B\setminus A|\cdot w \end{eqnarray*}$

bedeutet, letzteres wegen des ja schon ermittelten v=0 . Im Fall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|>0 \end{eqnarray*}$ kann man damit nun $\begin{eqnarray*} u,w \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmen. Beim Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|=0 \end{eqnarray*}$ sollte man sich mal klar machen, was der eigentlich bedeutet.

06.02.2020, 12:41

Waldemar123456789

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Im Fall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|>0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich
$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{\vert A\vert\cdot |B\setminus A|}-\frac{1}{\vert B\vert \cdot|B\setminus A|} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} w=\frac{1}{\vert A\vert\cdot |B\setminus A|} \end{eqnarray*}$

Im Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|=0 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} A=B=A\cap B \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} |A|=|B|=|A\cap B|. \end{eqnarray*}$ Folglich ist $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ noch vor der Division. Und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ müsste auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(Z_a=Z_b)=1 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

06.02.2020, 13:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Waldemar123456789
Im Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|=0 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} A=B=A\cap B \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} |A|=|B|=|A\cap B|. \end{eqnarray*}$ Folglich ist $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ noch vor der Division. Und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ müsste auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(Z_a=Z_b)=1 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

An sich ist die Sache noch einfacher: Im Fall $\begin{eqnarray*} |B\setminus A|=0 \end{eqnarray*}$ treten die Varianten 2) und 4) ja überhaupt nicht auf, es gibt ja dann keine $\begin{eqnarray*} j\in B\setminus A \end{eqnarray*}$ . Folglich muss man sich in diesem Fall auch gar keine Gedanken machen, wie groß $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ zu wählen sind. Augenzwinkern

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