Existenz einer gemeinsamen Verteilung und Gleichung zeigen

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Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer gemeinsamen Verteilung und Gleichung zeigen
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem folgenden Satz zu beweisen:

Sei endliche Menge, und Zufallsvariablen mit Werten in . Dannr gibt es eine gemeinsame Verteilung für und so dass uniform mit Support auf und uniform mit Support auf ist. Insbesondere gilt

Leider habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll. Kann mir jemand helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das der Originaltext? Denn der ist einigermaßen verwirrend:

Wenn die Zufallsgrößen vorgegeben sind, dann kann man ihre gemeinsame Verteilung doch nicht wählen! Die ist wie sie ist, und i.a. sind deren Randverteilungen dann NICHT uniform in der beschriebenen Weise. unglücklich

Dann müsste man es schon so formulieren "es gibt Zufallsgrößen , so dass für ihre Verteilung gilt ..."
 
 
Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Orginaltext ist folgender:

Let be a finite set, be subsets of and be random variables, taking values in Then there is a joint distribution for and such that (respectively ) is uniform and supported on (respectively ) and, furthermore,
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast du sinngemäß richtig übersetzt. Macht aber wie gesagt wenig Sinn, und müsste m.E. heißen:

Zitat:
Sei eine endliche Menge und , beide nichtleer. Dann gibt es Zufallsvariablen mit Werten in , so dass uniform mit Support auf und uniform mit Support auf verteilt sind, sowie außerdem gilt.
Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nehme ich so an. Hast du eine Idee, wie ich das beweisen kann? Wie soll ich beginnen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde konstruktiv rangehen, d.h. direkt angeben, und zwar nach den folgenden vier Rechteck-Gitterbereichen getrennt:

1)

2)

3)

4)

Wir können dabei von o.B.d.A. ausgehen (andernfalls tauschen und die Rollen).

Was 1) betrifft, so würde ich die Wkt-Werte dort Null wählen außer Wert auf der Hauptdiagonale (d.h. für ), damit wäre dann schon mal die Forderung für erfüllt.

Mit diesem Startpunkt sowie dem Ansinnen, in den Gitterbereich 2),3) und 4) jeweils von den dort konkreten unabhängige Wkt-Werte zu wählen, kann man eine passende Verteilung leicht basteln.



Ein paar mehr Details: Das obige Schema im Lichte dieser Idee etwas ergänzt käme man raus bei

1) : sowie für

2) :

3) :

4) :

Aus der Forderung für alle folgt unmittelbar , wenn man den Teil betrachtet.

Aus der Forderung für alle kannst du zunächst (mit ) und dann auch noch (mit ) ermitteln. Schlussendlich erfordert die Probe auch noch die Überprüfung, ob mit diesen Werten dann auch das letzte fehlende Puzzlestück " für alle " erfüllt ist. Und tatsächlich, so klappt es. Augenzwinkern
Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000, danke. Kannst du mir genauer erklären, warum das folgende gelten muss?

Zitat:
Original von HAL 9000

Aus der Forderung für alle folgt unmittelbar , wenn man den Teil betrachtet.



Nun zur Berechnung von : Es gilt ja



Wie berechne ich nun
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du dich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten herumschlagen? Es geht hier um Randverteilungen, da genügen einfache Summenbetrachtungen:

Für alle muss der Gleichverteilungsforderung wegen gelten:



Für bedeutet das gemäß obigem "Plan"

,

während es für dann



bedeutet, letzteres wegen des ja schon ermittelten v=0 . Im Fall kann man damit nun eindeutig bestimmen. Beim Ausnahmefall sollte man sich mal klar machen, was der eigentlich bedeutet.
Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall erhalte ich

und


Im Ausnahmefall ist ja und damit auch Folglich ist noch vor der Division. Und müsste auch sein, da ist, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Waldemar123456789
Im Ausnahmefall ist ja und damit auch Folglich ist noch vor der Division. Und müsste auch sein, da ist, oder?

An sich ist die Sache noch einfacher: Im Fall treten die Varianten 2) und 4) ja überhaupt nicht auf, es gibt ja dann keine . Folglich muss man sich in diesem Fall auch gar keine Gedanken machen, wie groß und zu wählen sind. Augenzwinkern
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